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Como calcular autovetores

Atualizado em 19 julho, 2017

Às vezes, é necessário encontrar um vetor não nulo que quando multiplicado por uma matriz quadrada nos dá um múltiplo do vetor. Este vetor não nulo é chamado de "autovetor". Autovetores interessam não só a matemáticos como também a físicos e engenheiros. Para calculá-los é necessário entender matrizes, álgebra e determinantes.

Instruções

Matriz quadrada A, 2x2
  1. Aprenda e entenda a definição de um autovetor. Ele é encontrado por uma matriz A, quadrada n x n, e também por um autovalor escalar chamado "lambda". Lambda é representado por uma letra grega, mas aqui o chamaremos de L. Se existir um vetor não nulo x, onde Ax = Lx, o vetor x é chamado de "autovalor de A".

  2. Encontre os autovalores da matriz usando a equação det (A - LI) = 0. "Det" significa determinante e "I" é a matriz identidade.

  3. Calcule o autovetor para cada autovalor, encontrando um autoespaço E(L), o qual é um espaço nulo da equação. Os vetores não nulos de E(L) são os autovetores de A. Eles são encontrados colocando os autovetores de volta na matriz e encontrando uma base para A - LI = 0.

  4. Pratique os passos 3 e 4 estudando a matriz quadrada 2 x 2 mostrada na esquerda.

    Matriz quadrada A, 2x2
  5. Calcule os autovalores usando a equação. Det (A - LI) é (3 – L)(3 – L) –1 = L^2 – 6L + 8 = 0, o qual é um polinômio. Resolvendo-o algebricamente obtemos L1 = 4 e L2 = 2, que são os autovalores da matriz.

    Ao calcular o det (A - LI) obtemos um polinômio
  6. Encontre o autovetor para L = 4 calculando o espaço nulo. Faça isto colocando L1 = 4 na matriz e encontrando a base para A - 4I = 0. Resolvendo, obtemos x - y = 0, ou x = y. Só há uma solução independente uma vez que eles são iguais, tal como x = y = 1. Portanto, v1 = (1,1) é um autovetor do autoespaço de L1 = 4.

  7. Repita o passo 6 para encontrar o autovetor para L2 = 2. Encontraremos x + y = 0, ou x = -y. Também há uma solução independente, na qual x = -1 e y = 1. Portanto v2 = (-1,1) é um autovetor do autoespaço de L2 = 2.

O que você precisa

  • Calculadora
  • Texto introdutório de álgebra linear
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