Como decompor uma fração parcial

Escrito por luc braybury | Traduzido por marla maisonnett

A decomposição de frações parciais é um método de álgebra utilizado para simplificar uma função racional complexa (fração). O método é frequentemente usado no cálculo de simplificar o integrando de uma integral, que leva a uma integração mais simples. O objetivo é simplificar a função racional e converter a forma complexa na soma de duas ou mais funções racionais mais simples. A decomposição de frações parciais pode ser considerada como a operação inversa da adição de frações.

Nível de dificuldade:
Moderadamente fácil

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Instruções

  1. 1

    Fatore o denominador da função racional. Por exemplo, considere a função racional (x^2 + 2x - 1) / (2x^3 + 3x^2 - 2x). Quando fatorado, o denominador (2x^3 + 3x^2 - 2x) torna-se x(2x^2 + 3x - 2), pois o "X" é o maior fator comum. Fatorando novamente, x(2x^2 + 3x - 2) se tornará: x(2x - 1)(x + 2).

  2. 2

    Separe cada fator do denominador fatorado, pegue seus recíprocos e adicione-os. Por exemplo, o denominador x(2x - 1)(x + 2) possui três fatores distintos: x, 2x - 1 e x + 2. Utilizando letras consecutivas como numeradores para cada fator, a decomposição da fração parcial torna-se: (x^2 + 2x - 1) / x(2x - 1)(x + 2) = (A / x) + (B / (2x - 1)) + (C / (x + 2)).

  3. 3

    Determine o valor dos numeradores das frações parciais. Por exemplo, multiplicando os dois lados da equação (x^2 + 2x - 1) / (2x^3 + 3x^2 - 2x) = (A / x) + (B / (2x - 1)) + (C / (x + 2)) pelo denominador fatorado, obtêm-se: (x^2 + 2x - 1) = (A(2x - 1)(x + 2)) + (Bx(x + 2)) + Cx(2x - 1). Expandindo o lado direito, a equação se tornará: (x^2 + 2x - 1) = x^2(2A + B + 2C) + x(3A + 2B - C) - 2A.

  4. 4

    Defina as equações para resolver os coeficientes do seu lado direito. Por exemplo, resolvendo os coeficientes "A", "B" e "C" na equação x^2 + 2x - 1) = x^2(2A + B + 2C) + x(3A + 2B - C) - 2A, encontra-se que: (2A + B + 2C) = 1, já que o coeficiente de x^2 do lado esquerdo é 1; (3A + 2B - C) = 2, já que o coeficiente de "X" do lado esquerdo é 2; -2A = -1, já que a constante do lado esquerdo é -1.

  5. 5

    Calcule os coeficientes. Por exemplo, já que -2A = -1, A = (1 / 2). Já que A = (1 / 2), 3(1 / 2) + 2B - C = 2 ---> 2B - C = (1 / 2) e 2(1 / 2) + B + 2C = 1 ---> B + 2C = 0. Continuando o cálculo encontraremos que: B = (1 / 5) e C = (- 1 / 10).

  6. 6

    Anote a fração decomposta utilizando os novos coeficientes determinados. Por exemplo, (x^2 + 2x - 1) / (2x^3 + 3x^2 - 2x) = (1 / 2)(1 / x) + (1 / 5)(1 / 2x - 1) - (1 / 10)(1 / x + 2).

Dicas & Advertências

  • Uma função racional imprópria requer o uso de divisão sintética de polinômios para escrevê-la em forma de frações parciais. Se um fator possuir um produto repetido, como aqueles no formato de (ax + b)^n, onde "N" é qualquer número inteiro positivo, a decomposição da fração parcial torna-se: (A(1) / (ax + b)) + (A(2) / (ax + b)^2) +...+(A(n) / (ax + b)^n).

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