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Como determinar se uma matriz é unitária

Atualizado em 20 julho, 2017

A matriz unitária é uma matriz que satisfaz certas condições algébricas. Especificamente, ela é uma matriz que quando multiplicada pela sua matriz hermitiana (conjugada transposta), resulta na matriz identidade. Isto também implica que a conjugada transposta é o equivalente do inverso da matriz unitária. As matrizes unitárias têm muitas aplicações na ciência, incluindo o uso na mecânica quântica. Você pode determinar se uma matriz específica é unitária utilizando técnicas de álgebra linear.

Instruções

As matrizes unitárias encontram muitas aplicações na mecânica quântica, ou seja, o estudo de partículas muito pequenas (Jupiterimages/Photos.com/Getty Images)
  1. Determine o conjugado complexo da matriz (isto é, inverter o sinal do componente complexo do número). Por exemplo, se a matriz de dados é: (1/2) | 1 (1 + i) | | 1 - i) 1 |, o conjugado complexo é: (1/2) | 1 (1 - i) | | ( 1 + i) 1 |.

    Chame essa nova matriz de "A".

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  2. Encontre a matriz transposta conjugada A (ou seja, reescreva as linhas de A como as colunas da nova matriz. Faça as linhas dela como:

    (1/2) | 1 (1 - i) | | (1 + i) 1 |,

    pois as colunas de uma nova matriz, que chamaremos B, são:

    (1/2) | (1 + i) 1 | | 1 (1 - i) |.

  3. Multiplique a matriz original pela nova matriz B. Isso dará a você:

    (1/2) | 1 (1 + i) | X (1/2) | (1 + i) 1 | | (1 - i) 1 | | 1 (1 - i) |.

    Multiplicando cada componente em conjunto lhe dará a nova matriz:

    (1/4) | 2 (1 + i) 2 | | 2 2 (1 - i) |.

  4. Determine se a nova matriz é a matriz identidade. Ela tem a forma:

    | 1 0 | | 0 1 |,

    e a matriz calculada no nosso exemplo é a seguinte:

    | (1/2) (1 + i) 1/2 | | 1/2 (1/2) ( 1 - i) |.

    Portanto, a matriz original não é uma matriz unitária.

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Aviso

  • Ao multiplicar a matriz original pela matriz B, a multiplicação não comuta (isto é, a ordem da multiplicação irá alterar o resultado).
  • Portanto, certifique-se de que a matriz original se encontre antes da nova matriz.

Referências

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