Como encontrar distâncias totais percorridas com cálculo

Escrito por chirantan basu | Traduzido por joanna riva
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Como encontrar distâncias totais percorridas com cálculo
O cálculo é útil para se encontrar distâncias e taxas de mudança em problemas de engenharia e ciências (Jupiterimages, Brand X Pictures/Brand X Pictures/Getty Images)

Você pode encontrar a distância total percorrida por um objeto em espaços bi ou multidimensionais utilizando integrais. A integração é uma ferramenta matemática para encontrar distâncias, volumes e áreas de curvas e formas. Por exemplo, se você estiver conduzindo um experimento no qual a velocidade de um objeto é definida por uma função matemática, você pode aplicar a integral à função para encontrar a distância percorrida pelo objeto.

Nível de dificuldade:
Moderadamente desafiante

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Instruções

  1. 1

    Identifique a função da velocidade e o intervalo de tempo sobre a distância percorrida pelo objeto que deve ser calculada. Se essa função não estiver disponível, talvez seja necessário derivá-la de um gráfico ou utilizar ferramentas de software para determinar a distância. Para ilustrar, presuma que uma função de velocidade V(t) é 2t² - t - 6 e o intervalo de tempo é de t = 0 a t = 5.

  2. 2

    Determine se a função da velocidade muda de direção no intervalo de tempo. Se o objeto muda de direção uma ou mais vezes em um intervalo de tempo, então a distância percorrida é a soma das distâncias percorridas em cada subintervalo. Em outras palavras, se um objeto se move 5 m para a esquerda e depois 10 m para a direita, a distância total percorrida é de 5 metros (-5 metros + 10 metros) a partir da sua localização original. No exemplo, é evidente que V(t) é menor que zero para t = 0 e é maior que zero para t = 5. Portanto, ele muda de direção pelo menos uma vez.

  3. 3

    Determine onde o objeto começa a mudar de direção ao resolver a função. Utilize tentativa e erro para isolar termos comuns. Se isto não funcionar, talvez seja necessário utilizar algoritmos mais complexos; isto também é chamado de fatoração ou encontrar os zeros ou raízes da função. No exemplo, reescreva V(t) como 2t² - 4t + 3t -6. Reagrupe os termos para obter 2t(t - 2) + 3(t - 2) e então (2t + 3)(t - 2). Iguale cada polinômio a zero para resolver a função. Os zeros do exemplo são em t = 2 e t = -3/2. Como o intervalo de tempo não pode ser negativo, há apenas uma mudança direcional em t = 2. Consequentemente, o intervalo de tempo t = 0 a 5 possui dois subintervalos: t = 0 a 2 e t = 2 a 5. A função é negativa para t entre 0 e 2 e positiva para t igual e acima de 2.

  4. 4

    Calcule a integral da função de velocidade utilizando regras básicas de integração. No exemplo, a integral de 2t² - t - 6 é (2/3)t³ - t²/2 - 6t + k. O termo constante "k" não é usado em cálculos de distância.

  5. 5

    Calcule a distância percorrida em cada subintervalo. No exemplo, a distância de t = 0 a 2 é (2/3)(2^3 - 0) - (1/2)(2^2 - 0) - 6(2 - 0) ou - 26/3. A distância de t = 2 a 5 é (2/3)(5^3 - 2^3) - (1/2)(5^2 - 2^2) - 6(5 - 2) ou 99/2. Lembre que a função da velocidade é negativa de t = 0 a 2 e positiva de t = 2 a 5. Portanto, a distância total percorrida é -(-26/3) + 99/2, ou 349/6.

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