Como encontrar o volume de um sólido limitado por elipses

Escrito por elio lewis | Traduzido por franciele gobi
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Como encontrar o volume de um sólido limitado por elipses
Sólidos elípticos podem ser combinados a outros formatos, como esferas e cilindros (Hemera Technologies/PhotoObjects.net/Getty Images)

O volume de um sólido delimitado por elipses pode ser chamado de paraboloide elíptico ou cilindro elíptico. De qualquer forma, esse é um problema de cálculo vetorial (geralmente estudado no terceiro período de cálculo) que requer o entendimento de como formular e utilizar integrais triplas e técnicas de integração. "Elipse" refere-se à forma base, que é como um círculo achatado. Em três dimensões, isso significa que cortar seções transversais desse sólido, em um ou mais planos, resulta em elipses.

Nível de dificuldade:
Desafiante

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Instruções

  1. 1

    Rascunhe o sólido descrito pelo problema. Isso geralmente é feito em um sistema de coordenadas "xyz", mas o problema pode também ser tratado em coordenadas cilíndricas e esféricas. Se esse for o caso, utilize as fórmulas para converter entre os sistemas de coordenadas.

  2. 2

    Encontre os limites de integração em relação a x,y e z. Em alguns casos, os limites são dados pelo problema, que simplesmente declaram: "O sólido é limitado por y = 0 e y = z + 2". Em outros casos, será necessário isolar a variável em questão em uma dada equação, como em um problema utilizando a elipse 4x² + z² = 4 sem declarar limites explícitos para z no problema. Nesse caso, a equação rearranja-se para z = +/- (4 - 4x²)^0,5 e os valores de z vão do negativo ao positivo.

  3. 3

    Escreva a integral tripla ordenando dx, dy e dz na ordem que parece ser mais fácil de integrar. Em alguns casos, ao fazer isso, pode-se acabar com uma integral que não é possível resolver. Caso isso aconteça, comece novamente, com dx, dy e dz em uma ordem diferente. Não se esqueça de escrever os limites de integração na integral acompanhando a ordem dos limites de x, y e z para que estejam pareados com a ordem de dx, dy e dz, começando do centro e indo para fora.

  4. 4

    Integre três vezes, do meio para fora. Aplique os limites após cada integração. Se a resposta envolve pi, deixe pi na resposta -- não multiplique pela aproximação de pi, 3,14.

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