O que é um fator de anuidade?

Escrito por paul dohrman | Traduzido por carlos nascimento
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O que é um fator de anuidade?
Entenda o fator de anuidade (Calculator image by Alhazm Salemi from Fotolia.com)

A anuidade é um instrumento financeiro de pagamentos referentes ao rendimento de um investimento de capital inicial através de uma série de operações regulares. Esses pagamentos acumulam juros até serem liquidados. Um fator de anuidade é o valor de um fluxo de rendimentos que gera um lucro específico a cada período por um número determinado de períodos. Esse fator pode, assim, ser multiplicado pelo pagamento da anuidade periódica para determinar o valor residual a ser pago.

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Valor atual

O valor atual de uma anuidade é o valor de todos os pagamentos futuros no momento presente ou antes de terem gerado juros para o investidor. Assim, para determinar o valor atual dos pagamentos futuros, os juros que eles geraram até o momento do pagamento têm de ser retidos.

Os pagamentos geram lucros até serem liquidados.

Por exemplo, o primeiro pagamento futuro do valor atual é P/(1+i), sendo "P" a quantia da liquidação e "i" os juros acumulados em um período. Se os juros são compostos, o valor atual do segundo pagamento é p/(1+i)^2.

Valor atual de uma anuidade

Se faltam "n" pagamentos futuros, o valor atual total, "VA", de uma anuidade é calculado através dos acúmulos de todos os pagamentos reduzidos pela quantia de juros que eles geraram até o momento do pagamento:

VA = P/(1+i) + P/(1+i)^2 + P/(1+i)^3 + P/(1+i)^4 + ... + P/(1+i)^n

Uma fórmula útil

Como "n" tende a ser um número alto, uma fórmula útil para acumular esses termos será bem-vinda.

Perceba que (1 - x) * (1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n) = 1 - x ^ (n+1).

Por quê?

Porque todos os termos em (1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^(n-1)) são multiplicados por -x

e (x + x^2 + x^3 + ... + x^n) é multiplicado por 1.

A adição de ambos resulta em zero.

Então, tudo que sobra é 1 - x ^ (n+1).

Agora temos uma fórmula simples para 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n, que pode economizar muito tempo se "n" for um valor alto.

Fórmula de valor atual

VA = P/(1+i) + P/(1+i)^2 + P/(1+i)^3 + P/(1+i)^4 + ... + P/(1+i)^n

pode ser reescrito como

P/(1+i) * [ 1 + P/(1+i) + P/(1+i)^2 + P/(1+i)^3 + P/(1+i)^4 + ... + P/(1+i)^(n-1) ] (para fazer o primeiro termo 1; perceba a mudança para n-1)

P/(1+i) * [1 - 1/(1+i)^n] / [1- 1/(1+i)]

Multiplicar pelo denominador de P dá

P * [1 - 1/(1+i)^n] / i

Perceba que essa fórmula não é aplicável se i=0, caso "i" seja igual a zero na primeira posição, resolver o VA é bem simples.

Fórmula do fator de anuidade

Dessa forma, a fórmula para o fator de anuidade é [1 - 1/(1+i)^n] / i, porque, por definição, o fator de anuidade é o que é multiplicado por P para se atingir o Valor Atual.

Notação

O fator de anuidade é representado por um "a" pequeno. Ele possui dois índices, o número de pagamentos, separados dos juros.

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