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Como fatorar polinômios do 3º grau

Atualizado em 23 março, 2017

Fatorar polinômios ajuda os matemáticos determinarem os zeros ou soluções de uma função. Estes zeros indicam mudanças críticas nas taxas de aumento e de diminuição, simplificando o processo de análise. Para polinômios do 3º grau ou superior, ou seja, o maior expoente da variável é três ou um valor maior, a fatoração pode se tornar mais tediosa. Em alguns casos, os métodos de agrupamento reduzem a aritmética, mas em outros casos, você pode precisar saber mais sobre a função ou polinômio, antes que possa prosseguir com a análise.

Instruções

Fatorar alguns polinômios é tedioso (formulas image by Anton Gvozdikov from Fotolia.com)
  1. Analise o polinômio para considerar fatorar por agrupamento. Se o polinômio está na forma em que a remoção do máximo divisor comum (mdc) dos dois primeiros termos e os dois últimos termos revela um outro fator comum, você pode empregar o método de agrupamento. Por exemplo, F(x) = x³ – x² – 4x + 4. Quando você remove o mdc dos dois primeiros e últimos termos, obtém o seguinte: x²(x – 1) – 4 (x – 1). Agora pode retirar (x – 1) de cada parte para obter, (x² – 4) (x – 1). Usando o método de "diferença de quadrados", pode ir adiante: (x – 2) (x + 2) (x – 1). Uma vez que cada fator estiver na sua forma prima ou não fatorável, você terminou.

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  2. Procure por uma diferença ou soma de cubos. Se o polinômio tem apenas dois termos, cada um com um cubo perfeito, você pode fatorá-los com base em fórmulas cúbicas conhecidas. Para somas: (x³ + y³) = (x + y) (x² – xy + y²). Para diferenças: (x³ – y³) = (x – y) (x² + xy + y²). Por exemplo, G(x) = 8x³ – 125. Então fatorando esse polinômio de 3º grau depende de uma diferença de cubos, como segue: (2x – 5) (4x² + 10x + 25), onde 2x é o raiz cúbica de 8x³ e 5 é a raiz cúbica de 125. Pois 4x² + 10x + 25 é primo, você terminou a fatoração

  3. Veja se há um mdc contendo uma variável que pode reduzir o grau do polinômio. Por exemplo, se H(x) = x³ – 4x, fatorando o mdc de "x", se obteria x (x² – 4). Em seguida, usando técnica de diferença de quadrados, você pode dividir o polinômio em x (x – 2) (x + 2).

  4. Utilize soluções conhecidas para reduzir o grau do polinômio. Por exemplo, P(x) = x³ – 4x² – 7x + 10. Se não há nenhum mdc ou diferença/soma de cubos, você deve usar outra informação para fatorar o polinômio. Quando descobrir que P(c) = 0, você sabe que (x – c) é um fator de P(x) com base no "teorema do fator" de álgebra. Assim, encontre um "c". Nesse caso, P(5) = 0, então (x – 5) deve ser um fator. Usando a divisão sintética ou longa, você obtém um quociente de (x² + x – 2), que fatora em (x – 1) (x + 2). Portanto, P(x) = (x – 5) (x – 1) (x + 2).

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Referências

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