Como fatorar polinômios do 3º grau

Escrito por sky smith | Traduzido por ricardo soares
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Como fatorar polinômios do 3º  grau
Fatorar alguns polinômios é tedioso (formulas image by Anton Gvozdikov from Fotolia.com)

Fatorar polinômios ajuda os matemáticos determinarem os zeros ou soluções de uma função. Estes zeros indicam mudanças críticas nas taxas de aumento e de diminuição, simplificando o processo de análise. Para polinômios do 3º grau ou superior, ou seja, o maior expoente da variável é três ou um valor maior, a fatoração pode se tornar mais tediosa. Em alguns casos, os métodos de agrupamento reduzem a aritmética, mas em outros casos, você pode precisar saber mais sobre a função ou polinômio, antes que possa prosseguir com a análise.

Nível de dificuldade:
Moderadamente desafiante

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Instruções

  1. 1

    Analise o polinômio para considerar fatorar por agrupamento. Se o polinômio está na forma em que a remoção do máximo divisor comum (mdc) dos dois primeiros termos e os dois últimos termos revela um outro fator comum, você pode empregar o método de agrupamento. Por exemplo, F(x) = x³ – x² – 4x + 4. Quando você remove o mdc dos dois primeiros e últimos termos, obtém o seguinte: x²(x – 1) – 4 (x – 1). Agora pode retirar (x – 1) de cada parte para obter, (x² – 4) (x – 1). Usando o método de "diferença de quadrados", pode ir adiante: (x – 2) (x + 2) (x – 1). Uma vez que cada fator estiver na sua forma prima ou não fatorável, você terminou.

  2. 2

    Procure por uma diferença ou soma de cubos. Se o polinômio tem apenas dois termos, cada um com um cubo perfeito, você pode fatorá-los com base em fórmulas cúbicas conhecidas. Para somas: (x³ + y³) = (x + y) (x² – xy + y²). Para diferenças: (x³ – y³) = (x – y) (x² + xy + y²). Por exemplo, G(x) = 8x³ – 125. Então fatorando esse polinômio de 3º grau depende de uma diferença de cubos, como segue: (2x – 5) (4x² + 10x + 25), onde 2x é o raiz cúbica de 8x³ e 5 é a raiz cúbica de 125. Pois 4x² + 10x + 25 é primo, você terminou a fatoração

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    Veja se há um mdc contendo uma variável que pode reduzir o grau do polinômio. Por exemplo, se H(x) = x³ – 4x, fatorando o mdc de "x", se obteria x (x² – 4). Em seguida, usando técnica de diferença de quadrados, você pode dividir o polinômio em x (x – 2) (x + 2).

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    Utilize soluções conhecidas para reduzir o grau do polinômio. Por exemplo, P(x) = x³ – 4x² – 7x + 10. Se não há nenhum mdc ou diferença/soma de cubos, você deve usar outra informação para fatorar o polinômio. Quando descobrir que P(c) = 0, você sabe que (x – c) é um fator de P(x) com base no "teorema do fator" de álgebra. Assim, encontre um "c". Nesse caso, P(5) = 0, então (x – 5) deve ser um fator. Usando a divisão sintética ou longa, você obtém um quociente de (x² + x – 2), que fatora em (x – 1) (x + 2). Portanto, P(x) = (x – 5) (x – 1) (x + 2).

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