Como fatorar polinômios de quarto grau

Escrito por chance e. gartneer | Traduzido por franciele gobi
Como fatorar polinômios de quarto grau
Não tenha mais dúvidas na fatoração de polinômios de quatro grau (Hemera Technologies/AbleStock.com/Getty Images)

Fatorar um polinômio de quarto grau não precisa terminar com você puxando todos os seus cabelos. Um polinômio de quatro grau é composto de termos de uma única variável de diferentes graus combinados com coeficientes numéricos e constantes. Esses polinômios podem possuir até quatro raízes distintas quando a equação é fatorada, e aprender uma forma sistemática de fatorá-los pode fornecer uma resolução mais rápida e um entendimento mais profundo do polinômio e sobre como ele funciona.

Instruções

  1. 1

    Fatore o maior coeficiente e a constante do polinômio. Por exemplo, utilizando a equação x^4-x^3-19x^2+3x+18, o maior coeficiente é 1, e seu único fator é 1. A constante da equação é 18, e seus fatores são 1, 2, 3, 6, 9, 18. Divida os fatores da constante pelos fatores do coeficiente. Os fatores divididos são 1, 2, 3, 6, 9, 18.

  2. 2

    Divida as formas negativas e positivas dos fatores divididos na equação utilizando divisão sintética para encontrar os zeros, ou as raízes da equação. Configure a equação utilizando apenas os coeficientes, conforme mostrado a seguir:

    | 1 -3 -19 3 18 |__

    e multiplique e some os fatores divididos aos coeficientes. Utilizando o fator dividido 1 conforme mostrado a seguir:

    1 | 1 -3 -19 3 18 |__

    primeiro leve o fator dividido 1 logo abaixo da linha de divisão:

    1 | 1 -3 -19 3 18 _ |__ __ 1

    então multiplique aquele número pelo fator divisor e some-o ao próximo termo dessa forma:

    1 | 1 -3 -19 3 18 | 1 |___ __ 1 -2

    Trabalhe todos os termos da equação conforme mostrado a seguir:

    1 | 1 -3 -19 3 18 | _ 1 -2 -21-18 |__ __ 1 -2 -21 -18 0

    Como o último número é zero e não há resto para a última posição, isso significa que 1 é um fator da equação.

  3. 3

    Escreva uma nova equação com uma potência a menos, utilizando os restos da divisão sintética. Para o exemplo, a nova equação é x^3 - 2x^2 -21x -18.

  4. 4

    Recomece o processo com a nova equação, encontrando os fatores do maior coeficiente e a constante e então dividindo-os. Para a equação x^3 - 2x^2 -21x -18, o maior coeficiente é 1, o que significa que ele possui apenas um fator de 1. A constante é 18, então possui os fatores 1, 2, 3, 6, 9, 18. Dividir os fatores resulta em 1, 2, 3, 6, 9, 18.

  5. 5

    Realize a divisão sintética das formas positiva e negativa dos fatores divididos nos coeficientes. Para esse exemplo:

    -1 | 1 -2 -21 -18 | -1 3 18 __|___ 1 -3 -18 0

    Logo, -1 é um fator da equação.

  6. 6

    Escreva uma nova equação com uma potência a menos utilizando os restos da divisão sintética. Para esse exemplo, a nova equação é x^2 - 3x -18.

  7. 7

    Encontre os últimos dois fatores utilizando a fórmula quadrática (Bhaskara), que usa os coeficientes da equação, que deve possuir a forma ax^2+bx+c, em que a fórmula quadrática fará uso dos valores de a, b e c, que são 1, -3 e -18 no exemplo. A fórmula quadrática é:

    x= -b +/- √ (b^2 - 4ac)

    2a

    então multiplique os valores a e c, que são 1 e -18, por 4, o que resulta em -72. Subtraia essa quantidade de b elevado ao quadrado, que é 3^2, ou 9. Logo, 9 menos -72 é igual a 81. Encontre a raiz quadrada da diferença, que, para o exemplo, é igual a 9. Subtraia e some o valor a -b, que é -(-3), ou 3, de forma que 3 menos 9 é -6 e 3 mais 9 é 12. Divida ambos os valores por 2a, ou 2 * 1, que é 2, e obterá -3 e 6, que são os dois fatores da equação. Portanto, os quatro fatores da equação x^4-3x^3-19x^2+3x+18 são 1, -1, -3 e 6.

Dicas & Advertências

  • Esse processo também pode ser utilizado para polinômios de grau maior.
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