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Como fatorar polinômios de quarto grau

Atualizado em 11 agosto, 2017

Fatorar um polinômio de quarto grau não precisa terminar com você puxando todos os seus cabelos. Um polinômio de quatro grau é composto de termos de uma única variável de diferentes graus combinados com coeficientes numéricos e constantes. Esses polinômios podem possuir até quatro raízes distintas quando a equação é fatorada, e aprender uma forma sistemática de fatorá-los pode fornecer uma resolução mais rápida e um entendimento mais profundo do polinômio e sobre como ele funciona.

Instruções

Não tenha mais dúvidas na fatoração de polinômios de quatro grau (Hemera Technologies/AbleStock.com/Getty Images)
  1. Fatore o maior coeficiente e a constante do polinômio. Por exemplo, utilizando a equação x^4-x^3-19x^2+3x+18, o maior coeficiente é 1, e seu único fator é 1. A constante da equação é 18, e seus fatores são 1, 2, 3, 6, 9, 18. Divida os fatores da constante pelos fatores do coeficiente. Os fatores divididos são 1, 2, 3, 6, 9, 18.

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  2. Divida as formas negativas e positivas dos fatores divididos na equação utilizando divisão sintética para encontrar os zeros, ou as raízes da equação. Configure a equação utilizando apenas os coeficientes, conforme mostrado a seguir:

    | 1 -3 -19 3 18 |__

    e multiplique e some os fatores divididos aos coeficientes. Utilizando o fator dividido 1 conforme mostrado a seguir:

    1 | 1 -3 -19 3 18 |__

    primeiro leve o fator dividido 1 logo abaixo da linha de divisão:

    1 | 1 -3 -19 3 18 _ |__ 1

    então multiplique aquele número pelo fator divisor e some-o ao próximo termo dessa forma:

    1 | 1 -3 -19 3 18 | 1 |___ __ 1 -2

    Trabalhe todos os termos da equação conforme mostrado a seguir:

    1 | 1 -3 -19 3 18 | _ 1 -2 -21-18 |__ __ 1 -2 -21 -18 0

    Como o último número é zero e não há resto para a última posição, isso significa que 1 é um fator da equação.

  3. Escreva uma nova equação com uma potência a menos, utilizando os restos da divisão sintética. Para o exemplo, a nova equação é x^3 - 2x^2 -21x -18.

  4. Recomece o processo com a nova equação, encontrando os fatores do maior coeficiente e a constante e então dividindo-os. Para a equação x^3 - 2x^2 -21x -18, o maior coeficiente é 1, o que significa que ele possui apenas um fator de 1. A constante é 18, então possui os fatores 1, 2, 3, 6, 9, 18. Dividir os fatores resulta em 1, 2, 3, 6, 9, 18.

  5. Realize a divisão sintética das formas positiva e negativa dos fatores divididos nos coeficientes. Para esse exemplo:

    -1 | 1 -2 -21 -18 | -1 3 18 __|__ _ 1 -3 -18 0

    Logo, -1 é um fator da equação.

  6. Escreva uma nova equação com uma potência a menos utilizando os restos da divisão sintética. Para esse exemplo, a nova equação é x^2 - 3x -18.

  7. Encontre os últimos dois fatores utilizando a fórmula quadrática (Bhaskara), que usa os coeficientes da equação, que deve possuir a forma ax^2+bx+c, em que a fórmula quadrática fará uso dos valores de a, b e c, que são 1, -3 e -18 no exemplo. A fórmula quadrática é:

    x= -b +/- √ (b^2 - 4ac)

    2a

    então multiplique os valores a e c, que são 1 e -18, por 4, o que resulta em -72. Subtraia essa quantidade de b elevado ao quadrado, que é 3^2, ou 9. Logo, 9 menos -72 é igual a 81. Encontre a raiz quadrada da diferença, que, para o exemplo, é igual a 9. Subtraia e some o valor a -b, que é -(-3), ou 3, de forma que 3 menos 9 é -6 e 3 mais 9 é 12. Divida ambos os valores por 2a, ou 2 * 1, que é 2, e obterá -3 e 6, que são os dois fatores da equação. Portanto, os quatro fatores da equação x^4-3x^3-19x^2+3x+18 são 1, -1, -3 e 6.

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Dicas

  • Esse processo também pode ser utilizado para polinômios de grau maior.

Referências

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