Como integrar sen²(x)

Escrito por petra wakefield | Traduzido por philipe oliveira
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Como integrar sen²(x)
Algumas integrais exigem substituição trigonométrica (Jupiterimages/Photos.com/Getty Images)

A solução da integral de sen²(x) requer que você relembre princípios tanto do cálculo, quanto da trigonometria. Não conclua que, já que integral de sen(x) é igual a -cos(x), a integral de sen²(x) será -cos²(x). De fato, a resposta não possui cosseno. Você não pode integrar diretamente sen²(x). Use identidades trigonométricas e regras de substituição do cálculo para solucionar o problema.

Nível de dificuldade:
Moderadamente desafiante

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Instruções

  1. 1

    Use a fórmula do arco metade, sen²(x)=1/2*(1 - cos(2x)) e substitua na integral, que se tornará, 1/2 que multiplica a integral de (1 - cos(2x)) dx.

  2. 2

    Adote o valor u=2x e du=2dx para realizar a substituição de u na integral. Assim, dx=du/2. O resultado será 1/4 que multiplica a integral de (1 - cos(u)) du.

  3. 3

    Integre a equação. Sabendo que integral de 1du = u, e a integral de cos(u)du é sen(u), o resultado será 1/4*(u - sen(u)) + c.

  4. 4

    Substitua u de volta na equação para obter 1/4*(2x - sen(2x)) + c. Simplifique para obter: x/2 - (sen(x))/4 + c.

Dicas & Advertências

  • Para integral definida, elimine a constante da resposta e calcule a resposta dentro do intervalo especificado no problema. Se o intervalo é entre 0 e 1, por exemplo, calcule: [1/2 - sen(1)/4] - [0/2 - sen(0)/4)].

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