Step 1

Defina o comprimento de uma aresta como uma unidade. Por definição, cada aresta no cubo possui um comprimento igual a uma umidade.

Step 2

Use o teorema pitagórico para determinar o comprimento da diagonal que vai de um canto ao outro no mesmo lado, que pode ser nomeada de "diagonal menor", por motivos de clareza. Cada lado do triângulo retângulo formado é uma unidade, então a diagonal deve ser igual a √2.

Step 3

Use o teorema pitagórico para determinar o comprimento de uma diagonal percorrendo de um canto ao outro, de outro lado do cubo, que pode ser nomeada de "diagonal maior". Você terá um triângulo reto em um lado equivalendo a uma unidade e um lado igual à "diagonal menor", que equivale a raiz quadrada de duas unidades. O quadrado da hipotenusa é igual à soma do quadrado dos lados, assim a hipotenusa deve ser √3. Cada diagonal percorrendo de um canto ao outro em outro lado do cubo é igual a √3 unidades.

Step 4

Desenhe um retângulo para representar duas diagonais maiores atravessando o centro do cubo e considere que deve ser descoberto o ângulo da intersecção deles. Esse retângulo deve possuir 1 unidade de altura e √2 unidades de largura. As diagonais maiores se cruzam no centro desse retângulo e formam dois tipos diferentes de triângulos. Um deles terá um lado igual a 1 unidade e os outros dois iguais a √3/2 (metade do comprimento de uma diagonal maior). O outro terá dois lados iguais a √3/2, mas o seu primeiro será de √2. É preciso apenas analisar um dos triângulos, escolher o primeiro e descobrir o ângulo desconhecido.

Step 5

Use a fórmula trigonométrica "c² = a² + b² - 2ab x cos C" para descobrir o ângulo desconhecido desse triângulo. "C=1", e "b" e "a" são iguais a √3/2. Colocando esses valores na equação, descobre-se que o cosseno do ângulo é 1/3. O inverso do cosseno 1/3 corresponde a um ângulo de 70,5 graus.