Como resolver e representar desigualdades quadráticas em gráficos

Escrito por kathryn white | Traduzido por ricardo soares
Como resolver e representar desigualdades quadráticas em gráficos
Use um lápis ao construir o gráfico de desigualdades quadráticas, para que possa apagar erros (pencil image by AGphotographer from Fotolia.com)

Em matemática, a desigualdade é diferente da igualdade, em que ela descreve uma variação de respostas que satisfazem uma inequação em vez de números específicos que a tornam verdadeira. Sabendo que equações quadráticas (aquelas que envolvem uma variável de segundo grau) são mais complicadas do que equações lineares (aquelas em uma reta) e que representar desigualdades em gráficos é um pouco mais complexo do que fazer o mesmo para igualdades, muitos alunos têm dificuldade quando aprendem que devem combinar os dois conceitos. No entanto, fazer o gráfico e resolver desigualdades quadráticas exige pouco conhecimento novo e, com prática, torna-se bastante fácil.

Instruções

  1. 1

    Desenhe um plano cartesiano padrão em papel quadriculado, adicionando marcações no eixo x (horizontal) e no eixo y (vertical).

  2. 2

    Reescreva a desigualdade quadrática na forma padrão (y </> ax^2 + bx + c). Por exemplo, y < 5x - 3x^2 + 8 seria escrito como y < -3x^2 + 5x + 8.

  3. 3

    Use a fórmula -b/2a para encontrar o valor de x do vértice (maior ou menor ponto) do gráfico da desigualdade quadrática (chamado de parábola). Por exemplo, se tiver y < -3x^2 + 5x + 8, você escreveria -5/2(-3) para obter 5/6.

  4. 4

    Substitua o valor de x do vértice na equação para obter o valor de y do vértice. Nesse caso, 5/6 como o valor de x resultaria em 145/12 como o valor de y. Em seguida, escreva o vértice como (5/6, 145/12) e marque esse ponto no gráfico.

  5. 5

    Altere a desigualdade quadrática para uma igualdade e iguale-a a zero. A equação y < 5x - 3x^2 + 8 se tornaria 0 = - 3x^2 + 5x + 8. Em seguida, use a fatoração, completando o quadrado ou a fórmula quadrática (ver seção de Dicas) para encontrar os pontos em que o gráfico cruza o eixo x. Você poderá obter zero, uma ou duas raízes reais. Marque-as como pontos no gráfico. Aqui, o cruzamento no eixo x seria (8/3, 0) e (-1, 0).

  6. 6

    Desenhe uma forma de ''U'' que atravesse o eixo x e o vértice. Faça uma linha sólida se a desigualdade incluir um sinal de igual e uma linha pontilhada se não. Se a equação original for y >, sombreie acima da linha. Se a equação for y <, sombreie abaixo da linha.

  7. 7

    Use o cruzamento no eixo x e a região sombreada para determinar as respostas para a desigualdade quadrática. Se a parábola estiver sombreada no interior, a resposta para x se encontra entre os cruzamentos dos eixos. Por exemplo, com y < -3x^2 + 5x + 8, a forma de ''U'' do gráfico ficaria voltada para cima e o sombreado no interior, de modo que a solução seria -1 < x < 8/3. Se o sombreamento se encontrar no exterior da parábola, x deve ser menor do que o menor cruzamento e maior do que o maior cruzamento. Um exemplo seria -3 > x > 2.

Dicas & Advertências

  • Lembre-se de que, quando calcular os pontos no gráfico, o valor de x representa a posição do ponto horizontalmente e o valor de y verticalmente.
  • Para usar a fórmula quadrática para resolver o cruzamento em x e zero, substitua os coeficientes a, b e c na fórmula x = (-b +/- sqrt (b^2 - 4ac))/2a), em que ''sqrt'' significa ''raiz quadrada''.
  • O local sombreado depende do sinal de desigualdade, e não se a concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo.
  • Se não tiver cruzamentos no eixo x na desigualdade quadrática, substitua dois valores (um levemente maior do que o valor de x do vértice e um levemente menor) para encontrar dois pontos extras para o gráfico. Isso ajudará a desenhar a parábola.

O que você precisa?

  • Lápis
  • Papel
  • Papel quadriculado (opcional)

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