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Como resolver cada um dos sistemas de congruências lineares

Atualizado em 17 abril, 2017

Congruências lineares são os relacionamentos entre quantidades que têm o mesmo valor remanescente após serem divididas por um dado número inteiro, onde as quantidades são constantes ou polinomiais de primeiro grau. As congruências lineares são normalmente especificadas na forma ax ≡ b (mod n), onde b é o remanescente e n é o número inteiro -- frequentemente referido como o módulo -- pelo qual ax é dividido. Resolver um sistema de congruências lineares significa encontrar os valores para as variáveis que satisfaçam cada uma das congruências em um sistema.

Instruções

Congruências lineares são conjuntos de divisores e remanescentes (Thinkstock/Comstock/Getty Images)
  1. Encontre o máximo divisor comum para o módulo e o coeficiente da variável, para cada congruência. Se o remanescente da congruência for divisível por esse máximo divisor comum, então a congruência tem uma solução. Além disso, para ax ≡ b (mod n), o máximo divisor comum para n e a é o número de soluções para x inclusive quando x está entre 0 e n. Por exemplo, na congruência 4x ≡ 2 (mod 6), o máximo divisor comum de 6 e 4 é 2, e 2 -- o remanescente -- é divisível por 2 -- o máximo divisor comum, portanto essa congruência tem duas soluções. Se alguma das congruências não tiver soluções, então não há uma solução para o sistema.

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  2. Resolve a primeira congruência usando a fórmula x = kn + b, onde n é o módulo e b é o remanescente. Se as congruências forem x ≡ 3 (mod 5) e x ≡ 5 (mod 8), então x = 5k+3 para a primeira congruência.

  3. Substitua o valor de x em termos de k na próxima equação. No exemplo acima, isso significaria que 5k+3 ≡ 5 (mod 8). Subtraindo 3 de ambos os lados temos 5k ≡ 2 (mod 8). Resolve k adicionando 8, o módulo, a 2, o remanescente, até chegar a um número divisível por 5. Nesse caso, 2 + 8 = 10, e 10 é divisível por 5, portanto 5k ≡ 10 (mod 8). Divida por 5 para chegar a k ≡ 2 (mod 8), ou k = 8m + 2. Se existirem mais de duas congruências, então repita essa etapa para as congruências adicionais, usando uma nova variável individual para cada uma delas.

  4. Substitua o valor de k da segunda congruência no valor para x na primeira congruência para encontrar um valor pra x que funcione em ambas. No exemplo acima, como k = 8m + 2, então x = 5(8m + 2) + 3 = 40m + 13, ou x ≡ 13 (mod 40). Isso mostra os valores para x que funcionarão para ambos x ≡ 3 (mod 5) e x ≡ 5 (mod 8) são 13, 53, 93, etc.

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Referências

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