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Como fazer uma série de potências para arco-tangente

Atualizado em 23 março, 2017

Uma série de potências é uma maneira de estimar o valor de uma função de x para um x particular, utilizando uma série que inclui potências de x. A tangente inversa, ou arco-tangente de x, é a função que resulta na tangente quando invertida. Ou seja, se arctg(x) = y, então tg(y) = x. A tangente é uma função trigonométrica. Em um triângulo retângulo, a tangente de um ângulo é a razão entre o lado oposto ao ângulo e o lado adjacente ao ângulo. Existe uma série de potências para arctg(x) quando x está entre -1 e 1.

Instruções

Aprenda a fazer uma série de potências para calular a tangente inversa (Jupiterimages/Photos.com/Getty Images)
  1. Comece com x. Por exemplo, suponha que você queria encontrar arctg(0,5) utilizando uma série de potências. Comece com 0,5.

  2. Encontre x^3. Por exemplo: 0,5^3 = 0,125.

  3. Divida o resultado por 3. No exemplo, 0,125/3 = 0,0417.

  4. Subtraia o valor resultante do resultado anterior. No exemplo, 0,5 - 0,0417 = 0,4583.

  5. Encontre x^5 e divida por 5. Para esse exemplo, 0,5^5 = 0,03124/4 = 0,00625.

  6. Some esse valor ao resultado anterior. No exemplo, 0,4583 + 0,00625 = 0,46455.

  7. Some e subtraia termos alternados até que a precisão desejada seja atingida. Os termos possuem a forma x^(21-1)/(2n-1) para n começando em 1. Desse modo, o primeiro termo (no passo 1 acima) era x^(21-1)/(2-1) = x^1/1 = x e o segundo termo era x^(22-1)/(22-1) = x^3/3 (ver passo 3). Os termos são alternadamente positivos e negativos, e a série completa é

    x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 ....

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