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Como utilizar a definição épsilon-delta

Atualizado em 21 fevereiro, 2017

A definição de épsilon-delta é uma demonstração que os estudantes aprendem no primeiro ano das aulas de cálculo. Essa definição é uma forma clássica de mostrar que uma função se aproxima de um limite específico à medida que uma variável independente se aproxima de um valor determinado. Épsilon e delta são, respectivamente, a quarta e quinta letra do alfabeto grego. Essas letras são tradicionalmente utilizadas nos processos de cálculo de limites, sendo também usadas nos processos de demonstração.

Instruções

A definição épsilon-delta é utilizada para resolver questões sobre limites (Jupiterimages/Photos.com/Getty Images)
  1. Deve-se começar trabalhando com a definição formal de limite. Essa definição diz que "o limite de f(x) é L, à medida que x se aproxima de k, se para cada épsilon maior do que zero existe um delta correspondente, maior do que zero, de tal modo que, quando o valor absoluto da diferença entre x e k for menor do que delta, o valor absoluto da diferença entre f(x) e L será menor do que épsilon". Informalmente, isso quer dizer que o limite de f(x) é L, quando x se aproxima de k, se for possível tornar f(x) tão próximo de L quanto desejar, através da aproximação de x a k. Para realizar a demonstração do épsilon-delta, deve-se mostrar que é possível definir delta em termos de épsilon, para uma função e um limite dados.

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  2. Manipule a afirmação "|f(x) - L| é menor do que o épsilon" até que você consiga |x - k| menor do que algum valor. Considere esse "algum valor" como sendo o delta. Lembre-se da definição formal e da ideia central, que afirma que é necessário mostrar que para qualquer épsilon existe um delta, estabelecendo entre eles uma relação que torna verdadeira a definição. Por esse motivo, é necessário definir delta em termos de épsilon.

  3. Observe os vários exemplos a seguir para tomar noção de como a definição prossegue. Por exemplo, para provar que o limite de 3x-1 é 2, quando x se aproxima de 1, considera-se k = 1, L = 2 e f(x) = 3x-1. Para ter certeza de que |f(x) - L| é menor do que épsilon, faça |(3x - 1) - 2| menor do que épsilon. Isso quer dizer que |3x - 3| é menor do que o épsilon, logo, 3 |x - 1| também é, ou ||x - 1| é menor do que épsilon/3. Dessa forma, ao considerar que delta = épsilon/3, |f(x) - L| será menor do que épsilon sempre que |x - k| for menor do que delta.

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Dicas

  • A parte central da prova é transformar f(x) - L em x - k. Se você mantém esse objetivo em mente, o resto da demonstração ocorrerá perfeitamente.

Aviso

  • Em algumas situações, o limite de uma função pode indicar que f(x) tende ao infinito sempre que x tende ao infinito. A definição de épsilon-delta não funciona nesses casos; nessas situações, uma demonstração similar pode ser realizada, escolhendo-se dois números grandes, M e N, e mostrando que f(x) pode ultrapassar M ao fazer com que x ultrapasse N, podendo M ser tão grande quanto desejar.

Referências

Recursos

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