Como provar que certas coordenadas formam um paralelogramo

Escrito por mike gamble | Traduzido por franciele gobi
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Como provar que certas coordenadas formam um paralelogramo
É possível verificar os vértices de um paralelogramo sem construir um gráfico (Ryan McVay/Photodisc/Getty Images)

É possível provar que quatro pontos são vértices de um paralelogramo de várias formas. Primeiramente desenhe os pontos em um gráfico e mostre que os lados opostos são paralelos, que os lados opostos são iguais ou que as diagonais são bissetrizes mútuas. Esses procedimentos são bastante diretos para que pessoas possam realizá-los, mas tentar executar um deles em um programa computacional é um pouco mais desafiador, porque requer a construção de gráficos e determinação de certos atributos, como os lados opostos e as diagonais. No entanto, não é necessário construir um gráfico para estabelecer que determinadas coordenadas pertencem a um paralelogramo.

Nível de dificuldade:
Moderadamente fácil

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Instruções

    Início

  1. 1

    Calcule a distância entre todos os pares possíveis de pontos finais com a fórmula d = sqrt((y2 - y1)^2 + (x2 - x1)^2), sendo que (x1, y1) e (x2, y2) são os pares de coordenadas para qualquer um dos dois pontos e "sqrt" é a raiz quadrada. Utilizando as legendas "a1" até "a4" as combinações dos pontos finais seriam a1a2, a1a3, a1a4, a2a3, a2a4 e a3a4. Por exemplo: dados os pontos (1; 3), (6; 6), (3; 5) e (4; 4), as distâncias seriam:

    d(a1a2) = sqrt((6 - 3)^2 + (6 - 1)^2) = 5,83 d(a1a3) = sqrt((5 - 3)^2 + (3 - 1)^2) = 2,83 d(a1a4) = sqrt((4 - 3)^2 + (4 - 1)^2) = 3,16 d(a2a3) = sqrt((5 - 6)^2 + (3 - 6)^2) = 3,16 d(a2a4) = sqrt((4 - 6)^2 + (4 - 6)^2) = 2,83 d(a3a4) = sqrt((4 - 5)^2 + (4 - 3)^2) = 1,41

  2. 2

    Descarte as distâncias correspondentes às diagonais. Se os quatro pontos forem vértices de um paralelogramo, devem ser encontrados no mínimo dois pares de distâncias iguais. Se for possível encontrar um par para cada distância com outra de igual comprimento, então os pontos são vértices de um quadrado ou retângulo, e assim está provado que as coordenadas foram um paralelogramo. Caso contrário, é possível que tenham sido encontradas quatro distâncias iguais ou dois pares de distâncias iguais. Some as duas distâncias que não possuem um par com distância equivalente e verifique se a soma é maior do que duas vezes a maior distância que possui um par. A soma das diagonais de um paralelogramo é maior do que a soma dos dois lados maiores.

  3. 3

    Verifique se os pares de distâncias equivalentes envolvem todos os quatro pontos. Se houver quatro distâncias iguais, divida-as em dois pares para que satisfaçam essa condição ou verifique as distâncias descartadas envolvendo os quatro pontos.

    Por exemplo, 3,16 é a distância entre os pontos a1 e a4, e a2 e a3, logo todos os pontos estão envolvidos. Pode-se também envolver os quatro pontos o cálculo da distância 2,83, então este é um paralelogramo. Por outro lado, se a distância 3,16 for a distância entre a1 e a4, e a1 e a3, por exemplo, o ponto a2 estará faltando. Isso seria um indício de que os lados equivalentes são adjacentes e não opostos, logo as coordenadas seriam uma forma de pipa, ao invés de um paralelogramo.

Dicas & Advertências

  • As diagonais de um paralelogramo formam quatro triângulos com os lados do paralelogramo. Com o teorema da iniquidade dos triângulos, é possível provar que a soma das diagonais é maior do que a soma dos dois lados maiores.

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