Como derivar logarítmos naturais e exponenciais

Escrito por matthew perdue | Traduzido por michel makarios
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Como derivar logarítmos naturais e exponenciais
Aprenda a derivar expressões mais complexas (Ciaran Griffin/Stockbyte/Getty Images)

A derivação é um elemento crucial no cálculo e outros níveis mais elevados de matemática. Ela descreve como uma determinada função se altera em relação aos seus valores de entrada. Por exemplo, a derivação de uma função linear da forma y = mx + b descreve como y se modifica no que diz respeito a x, também chamado de vertente. Em matemática mais avançada, no entanto, ela pode ser examinada para expressões mais complexas, como a função natural exponencial e^(x) e a função de logaritmo natural ln(x). Derivar os dois tipos de expressões é bastante simples e é aplicável em quase todos os casos que envolvem cada expressão respectiva.

Nível de dificuldade:
Moderadamente desafiante

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Instruções

    Diferenciação de e^(x)

  1. 1

    Anote a equação que precisa ser derivada. Por exemplo, derivar f(x) = e^(2x).

  2. 2

    Identifique a regra geral para derivar o exponencial natural e, que é dado como (d/dx) e^x = e^x. A derivada de e^x é ela mesma.

  3. 3

    Aplique a regra para a função aninhada do tipo geral e^(ax), onde (a) é um número real. Nesses problemas, existem basicamente duas funções: a função exterior com e^ax e a função aninhada (ax). A regra é que a derivada de f (x) = e^(ax) para algum número real (a) é f (x) = (d/dx)(ax) * (d/dx)e(ax); assim, a derivada de e^(ax) é ela mesma, multiplicada pela derivada do valor exponencial (ax), que é (a).

  4. 4

    Aplique as regras na equação. Usando o exemplo, a derivada de e^2x é a derivada da variável exponencial (2x) multiplicada pela derivada da expressão em si (e^2x). Vê-se como:

    F(x) = e^(2x)

    F’(x) = 2e^(2x)

    Derivada de ln (x)

  1. 1

    Anote a equação que precisa ser derivada. Por exemplo, derivar f(x) = ln (3x).

  2. 2

    Identifique a regra geral para a derivada de um log natural, que é dada como (d/dx) ln (x) = 1/x. A derivada de ln (x) é 1/x.

  3. 3

    Aplique a regra para a função aninhada de ln (ax), onde (a) é um número real. Tal como acontece com a função exponencial, se houver uma equação aninhada (ax) dentro da equação ln (ax), a derivada de tanto a equação aninhada quanto ela inteira tem que ser avaliada. Assim, a derivada da forma geral ln (ax) é a derivada de toda a função [(d/dx) ln(ax) = 1/ax] multiplicada pela derivada da função aninhada [(d/dx) ax = a], dando o resultado como f(x) = a/ax.

  4. 4

    Aplique ambas as regras para a função a ser derivada. Utilizando f(x) = ln (3x), a derivada da função exterior (ln(3x)), multiplicada pela função interna ou aninhada (3x), tem-se o resultado de f(x) = 3/(3x). Nesse caso particular, os três valores se cancelam, resultando numa resposta final de f (x) = 1/x.

Dicas & Advertências

  • As regras gerais de derivadas serão utilizadas, em certa medida, em quase todos os casos, embora procedimentos adicionais possam ser necessários, dependendo do tipo de equação, como pode ser visto com os exemplos de equação aninhada.

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