Como calcular autovalores e autovetores

Escrito por kim lewis | Traduzido por júlia polachini
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Como calcular autovalores e autovetores
Encontrar o autovetor e autovalor é necessário para resolver problemas com equações diferenciais, como em mecânica quântica e termodinâmica (Lyudmil Antonov Lantonov)

Um autovetor é um vetor diferente de zero que, quando multiplicado contra uma matriz quadrada, o resultado volta como um múltiplo dele mesmo. Esse múltiplo é um escalar chamado de "autovalor". É necessário encontrar o autovetor e autovalor para resolver problemas com equações diferenciais, como em mecânica quântica e termodinâmica. Você deve entender álgebra matricial e determinantes para calculá-los.

Nível de dificuldade:
Fácil

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Instruções

  1. 1

    Encontre os autovalores da matriz quadrada A. Um autorvalor é um número escalar, simbolizado pela letra grega lambda, mas, para simplificar, usaremos L. Assim, para um vetor x diferente de zero quando Ax = Lx, x é chamado de autovalor de A. Eles são encontrados usando a equação singular det (A - LI) = 0. Det representa a determinante e I a identidade da matriz.

  2. 2

    Calcule o autovetor para cada autovalor. Para isso, encontre o autoespaço E(L), que é o espaço nulo da equação característica. Os vetores não nulos de E(L) são os autovetores de A. Eles são encontrados ligando-os de volta à matriz singular e encontrando uma base para A - LI = 0.

  3. 3

    Pratique os Passos 1 e 2 estudando a matriz quadrada 2x2 da imagem.

    Como calcular autovalores e autovetores
    Pratique os Passos 1 e 2 estudando a matriz quadrada 2x2 da imagem
  4. 4

    Calcule os autovalores usando a equação singular: det (A - LI) = (1 – L)(–4 – L) – 3*2 = L² + 3L – 10 = 0; o polinômio singular. Fatorando esse polinômio: (L + 5)(L – 2) = 0, ou L1 = –5 e L2 = 2. Esses são os autovalores da matriz.

    Como calcular autovalores e autovetores
    Calcule os autovalores usando a equação singular
  5. 5

    Encontre o autovetor para o autovalor L1 = -5, calculando o espaço nulo. Faça isso substituindo o valor na matriz singular e encontrando a base para A – (–5)I = A + 5I = 0. As duas equações são 6x + 3y = 0 e 2x + y = 0. Escolhendo o segundo, uma vez que são equivalentes, obtem-se a solução 2x = -y. Se x = 1, então y = -2; logo, v1 = (1, -2) é um autovetor que se estende pelo autoespaço L1 = -5.

    Como calcular autovalores e autovetores
    Encontre o autovetor para o autovalor L1 = -5
  6. 6

    Encontre o autovetor para o autovalor L = 2. A equação é x - 3y = 0, ou x = -3y. Se x = 3, então y = -1; logo, v2 = (3, -1) é o autovetor que estende o autoespaço L = 2.

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