Como encontrar equações de retas tangentes

Escrito por chirantan basu | Traduzido por luiz neves
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Uma reta tangente toca uma curva em um, e apenas um, ponto. A equação da reta tangente pode ser determinada utilizando a fórmula de inclinação-intercepto ou o método do ponto de inclinação. A equação de inclinação-intercepto em forma algébrica é y = mx + b, onde "m" é a inclinação da reta e "b" é o intercepto em y, que é o ponto em que a reta tangente cruza o eixo y. A equação do ponto de inclinação em forma algébrica é y – a0 = m(x – a1), onde a inclinação da reta é "m" e (a0,a1) é um ponto da reta.

Nível de dificuldade:
Moderadamente desafiante

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Instruções

  1. 1

    Derive a função dada, f(x). Pode-se encontrar a derivada usando um dos vários métodos, como a regra da potência e a do produto. A regra da potência afirma que, para uma função de potência na forma f(x) = x^n, a função derivada, f'(x), é igual a nx^(n-1), onde n é um número real constante. Por exemplo, a derivada da função f(x) = 2x^2 + 4x + 10 é f'(x) = 4x + 4 = 4(x + 1).

    A regra do produto afirma que a derivada do produto de duas funções, f1(x) e f2(x), é igual à primeira função multiplicada pela derivada da segunda função, mais a derivada da primeira vezes a segunda função. Por exemplo, a derivada de f(x) = x^2(x^2 + 2x) é f’(x) = x^2(2x + 2) + 2x(x^2 + 2x), que pode ser simplificada como 4x^3 + 6x^2.

  2. 2

    Encontre a inclinação da reta tangente. Note que a primeira derivada de uma equação em um ponto específico é a inclinação da reta. Na função, f(x) = 2x^2 + 4x + 10, caso fosse pedido que se encontrasse a equação da reta tangente em x = 5, você começaria com a inclinação, m, que é igual ao valor da derivada em x = 5: f'(5) = 4(5 + 1) = 24.

  3. 3

    Obtenha a equação da reta tangente em um ponto particular usando o método do ponto de inclinação. Pode-se substituir o valor de "x" dado na equação original para obter "y"; Esses é o ponto (a0,a1) para a equação, y - a0 = m(x - a1). No nosso exemplo, f(5) = 2(5)^2 + 4(5) + 10 = 50 + 20 + 10 = 80. Então o ponto (a0,a1) é (5,80) nesse exemplo. Portanto, a equação torna-se y - 5 = 24(x - 80). Pode-se organizá-la e expressar na forma de inclinação: y = 5 + 24(x - 80) = 5 + 24x - 1920 = 24x - 1915.

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