O método de exaustão de Arquimedes

Escrito por josh fredman | Traduzido por ricardo guardati
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O método de exaustão de Arquimedes
O método de exasutão calcula áreas de figuras geométricas (geometry image by Alexey Klementiev from Fotolia.com)

O "método de exaustão" é uma técnica matemática para calcular a área aproximada de uma forma. É particularmente útil com formas irregulares, que têm uma ou mais arestas, visto que essas áreas são difíceis de calcular diretamente.

O método de exaustão foi desenvolvido na antiguidade. Arquimedes não chegou a inventá-lo, mas foi o primeiro a usá-lo para calcular a área aproximada de um círculo, o que era um desafio significativo na geometria antiga.

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O método: aproximação poligonal

Suponha que você queira determinar a área de qualquer forma plana. Para simplificar, vamos supor que a forma seja um círculo. O método de exaustão consiste em aproximar a área do círculo usando dois polígonos. Um polígono é qualquer forma cujos lados são feitos de linhas retas. Um triângulo, um quadrado, um trapézio e um octógono são exemplos de polígonos. Vamos supor, para começar, que você usará quadrados.

O primeiro quadrado estará "circunscrito" no círculo. Isto significa que ele estará completamente fora do círculo, mas cada um dos quatro lados tocará a borda do círculo (sem cruzar para dentro). Dessa forma, você sabe que a área do quadrado é maior, mas semelhante, à área do círculo.

O segundo quadrado estará "inscrito" dentro do círculo. O que significa que ele ficará completamente dentro do círculo, mas cada um de seus quatro cantos vai tocar a borda do círculo (sem cruzar para fora). Dessa forma, você sabe que a área do quadrado é menor, mas semelhante, à área do círculo.

Você pode então calcular a área de cada quadrado com equações simples, e concluir que a área do círculo está em algum ponto entre esses dois valores.

A exaustão: polígonos com muitos lados

No entanto, um quadrado não se parece muito com um círculo. Matematicamente, isso significa que sua aproximação é bruta. A maneira de torná-la mais precisa é adicionando mais lados aos polígonos. Um quadrado não se parece muito com um círculo, mas um octógono sim.

Então, o que você pode fazer agora é trocar os quadrados por octógonos. O processo é o mesmo: circunscrever o primeiro octógono sobre o círculo, e inscrever o segundo octógono dentro do círculo. Em seguida, calcular a área de cada octógono. Você vai descobrir que as áreas dos dois são muito parecidas. Isto significa uma melhor aproximação à área do círculo.

Para determinar a área de um octógono, ou de qualquer polígono, você pode quebrar o polígono em retângulos e quadrados, e usar equações simples para determinar a área de cada peça e, em seguida, somar todos os pedaços para obter a área total. Assim, um octógono regular possui quatro triângulos e quatro retângulos do lado de fora e um quadrado no meio. Verifique por si mesmo em um pedaço de papel.

Se octógonos lhe deram uma maior aproximação da área do círculo do que quadrados, então você pode imaginar que um polígono de vinte lados daria uma aproximação ainda mais precisa. Um polígono de 50 lados seria ainda melhor. Por isso o nome "exaustão": Você pode fazer sua aproximação tão precisa quanto quiser, desde que você esteja disposto a desenhar polígonos com lados suficientes e calcular as áreas de todos os minúsculos triângulos e retângulos.

Para obter uma resposta perfeita para a área do círculo, você teria que usar polígonos com um número infinito de lados, o que é impossível. Este tipo de limitação, no fim das contas, levou ao desenvolvimento do cálculo.

Qualquer forma pode ser aproximada

Neste guia, você usou um círculo, mas lembre-se que você pode usar o método da exaustão para a área aproximada de qualquer forma plana bidimensional, não importa quão estranha ou irregular. Não é normalmente usada para círculos hoje em dia, mas para formas estranhas, ainda é o método utilizado.

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