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Como calcular catenárias

Escrito por: Allan Robinson

Escrito em: November 20, 2021

Catenárias com diferentes fatores de escala

Wikimedia Commons

Uma catenária é a forma que um cabo assume quando é suportado pelas suas pontas e sofre apenas a ação do seu peso. Ela é usada extensivamente na construção, especialmente de pontes suspensas, e uma catenária invertida é usada desde a antiguidade para a construção de arcos. A curva da catenária é uma função cosseno hiperbólica que tem uma forma de "U" similar a de uma parábola. A forma de uma catenária específica pode ser determinada pelo seu fator de escala.

Calculando a catenária

Step 1

Calcule a função padrão da catenária y = a cosh(x/a), onde y é o y do plano cartesiano, x é o x do plano cartesiano, cosh é a função cosseno hiperbólica e "a" é o fator de escala.

Step 2

Observe o efeito do fator de escala na forma da catenária. Ele pode ser imaginado como a razão entre a tensão horizontal no cabo e o peso do cabo por unidade de comprimento. Um fator de escala menor vai, então, resultar em uma curva mais profunda.

Step 3

Calcule a função catenária com uma equação alternativa. A equação "y = a cosh(x/a)" pode ser provada como matematicamente equivalente a "y = a/2 (e^(x/a) + e^(-x/a))", na qual "e" é a base do logaritmo natural e é aproximadamente 2,71828.

Step 4

Calcule a função para uma catenária elástica como "y = yo/(1 + et)", onde "yo" é a massa inicial por unidade de comprimento, "e" é a constante de mola e "t" é o tempo. Essa equação descreve uma mola quicando em vez de um cabo pendurado.

Step 5

Calcule um exemplo real de uma catenária. A função "y = -127,7 cosh(x/127,7) + 757,7" descreve o "St. Louis Arch" (Arco de St. Louis), estando as medidas em pés.