Como calcular o volume de sólidos de revolução

Escrito por mike gamble | Traduzido por joanna riva
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Como calcular o volume de sólidos de revolução
A fórmula do volume de uma esfera possui sua base no cálculo (Ryan McVay/Lifesize/Getty Images)

Várias das formas encontradas na geometria são sólidos de revolução, como esferas, cones e cilindros. As fórmulas utilizadas para calcular seus volumes baseiam-se no cálculo. Por exemplo, imagine uma função de semicírculo rotacionado ao redor do eixo x. Integre o quadrado da função e multiplique por pi, e você definiu a fórmula do volume de uma esfera. No entanto, o cálculo ajuda a determinar o volume de muitos outros sólidos além de esferas - com ele, você pode definir o volume de qualquer forma cujo perfil derive de uma função.

Nível de dificuldade:
Moderado

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Instruções

  1. 1

    Encontre o quadrado da função que define o sólido de revolução. O método geral para encontrar o volume de um sólido de revolução é integrar pi * (f(x))^2. Pi é uma constante e pode ser movido para fora da integral, restando apenas elevar a função ao quadrado. Por exemplo, para a função f(x) = x^2/9 +1, (f(x))^2 = x^4/81 + 2x^2/9 + 1.

  2. 2

    Encontre a antiderivada da função ao quadrado. Por exemplo, g(x) = a antiderivada de (f(x))^2 = x^5/405 + 2x^3/27 + x + K, onde K é uma constante. O valor de K não é importante, visto que ele será eliminado no próximo passo.

  3. 3

    Resolva a integral dentro dos limites definidos. Por exemplo, dados os limites [0,3], encontre a diferença g(3) - g(0). Inserindo estes valores na equação, g(3) = 3/5 + 2 + 3 + K = 28/5 + K, e g(0) = K. Portanto, g(3) - g(0) = 28/5

  4. 4

    Encontre o resultado multiplicando o resultado da integral por pi. O volume do sólido dado no exemplo seria 28/5 * pi, que é 17,6.

Dicas & Advertências

  • Se o sólido tem uma área oca, definida por uma segunda função h(x), calcule o volume integrando pi * [f(x))^2 - (h(x))^2], garantindo que f(x) > h(x) para todos os valores de x dentro da região definida.

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