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Como encontrar a aproximação de um ângulo pequeno em uma função trigonométrica

Atualizado em 21 fevereiro, 2017

As funções trigonométricas são usadas para calcular ângulos e os lados de um triângulo ou vetor, sendo que conseguir fazer rapidamente uma aproximação para funções trigonométricas de ângulos pequenos acelera esses cálculos. Essas aproximações podem ser usadas para cálculos que envolvam pêndulos, funções de ondas eletrônicas e equações aeroespaciais. A aproximação também é usada em projetos de construção e inspeção.

Instruções

Para ângulos pequenos, há equações rápidas para funções trigonométricas (logarithmic scale image by Alexandr Potapov from Fotolia.com)

    Aproximação do seno de um ângulo pequeno

  1. Determine o ângulo entre as duas linhas e os vetores em radianos. Se ele for dado em graus, multiplique-o por pi e divida por 180. Esse número será o ângulo em radianos.

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  2. Confirme que o ângulo é pequeno o bastante para a aproximação, o que significa que ele não pode ser maior do que 45° ou pi dividido por 4 (aproximadamente 0,785).

  3. Use o valor do ângulo em radianos como o valor do seno desse ângulo.

    Aproximação do cosseno de um ângulo pequeno

  1. Determine o ângulo entre as duas linhas e os vetores em radianos. Se ele for dado em graus, multiplique-o por pi e divida por 180. Esse número será o ângulo em radianos.

  2. Confirme que o ângulo é pequeno o bastante para a aproximação, o que significa que ele não pode ser maior do que 45° ou pi dividido por 4 (aproximadamente 0,785).

  3. Verifique se uma aproximação simples ou de segunda ordem são aceitáveis. Se a de primeira ordem for a ideal, use o valor "1" para o cosseno daquele ângulo. Se for necessário fazer uma aproximação mais detalhada, vá para o quarto passo.

  4. Calcule a segunda ordem, se necessário. Tome o ângulo em radianos e tire sua raiz quadrada. Em seguida, divida o valor encontrado por dois. Subtraia esse resultado de 1 e o número obtido será uma aproximação mais detalhada do valor real do cosseno.

    Aproximação da tangente de um ângulo pequeno

  1. Determine o ângulo entre as duas linhas e os vetores em radianos. Se ele for dado em graus, multiplique-o por pi e divida por 180. Esse número será o ângulo em radianos.

  2. Confirme que o ângulo é pequeno o bastante para a aproximação, o que significa que ele não pode ser maior do que 45° ou pi dividido por 4 (aproximadamente 0,785).

  3. Use o ângulo em radianos como o valor da tangente desse ângulo.

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Dicas

  • Se o ângulo for medido em radianos, o livro "Physics for Scientists and Engineers, Volumes 34-41", escrito por Paul Tipler e Gene Mosca, afirma que "as aproximações de ângulos pequenos podem ser usadas somente para ângulos equivalentes a um quarto de radiano ou menos". Entretanto, para uma função de seno, converter o ângulo em radianos permite que o valor seja usado até 45° com apenas 10% de margem de erro.
  • Para a aproximação, tanto o seno quanto a tangente são o grau em radianos. Se tiver apenas um valor, será, então, necessário aproximar o outro.

Aviso

  • O livro "Modern Introductory Physics" afirma que "para ângulos menores que 10°, usar a corda no lugar do comprimento do arco induz a um erro insignificante de menos de 0,5%".
  • De acordo com o livro "Schaum's Outline of Theory and Problems of Beginning Physics II", "a aproximação de ângulos pequenos é válida para valores entre 3° e 5°".

O que você precisa

  • O ângulo a ser aproximado medido em graus ou radianos

Referências

Recursos

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