Como encontrar um polinômio a partir das raízes

Escrito por carlos mano | Traduzido por luana ribeiro
  • Compartilhar
  • Tweetar
  • Compartilhar
  • Pin
  • E-mail
Como encontrar um polinômio a partir das raízes
As raizes de um polinômio fornecem muitas informações a respeito da equação (Jupiterimages/Photos.com/Getty Images)

Os polinômios são expressões algébricas que envolvem variáveis únicas com termos de diferentes potências na variável em ordem decrescente. Por exemplo: Z^2 - 4Z - 5 é um polinômio com a variável Z. As raízes de um polinômio são todos os valores que podem ser substituídos na equação para chegar no resultado zero. Por exemplo, -1 é a raiz de Z^2 - 4Z - 5, pois, ao substituir -1 na variável Z, obtemos (-1 x -1) - 4 (-1) - 5 = 1 + 4 - 5 = 0.

Nível de dificuldade:
Moderado

Outras pessoas estão lendo

Instruções

  1. 1

    Faça uma lista de polinômios fatoriais -- cada um possui uma das raízes. Quando você tiver todos polinômios fatoriais correspondendo a cada raiz da lista, o produto de todos esses pequenos polinômios é o polinômio que você procura. Suponha que a lista das raízes seja apenas o par 1 e 2. Os polinômios fatoriais que possuem essas raízes são Z - 1 e Z - 2, pois a solução para Z - 1 = 0 é 1 e a solução para Z - 2 = 0 é 2. O polinômio desejado é o produto de Z - 1 e X - 2, ou Z^2 -3Z +2.

  2. 2

    Modifique o processo para as raízes fracionadas. Se a/b for uma das raízes, o polinômio simples que possui a/b como solução é bX - a. Então, se 3/4 for uma raiz, 4X - 3 é a solução simples com uma raiz 3/4: 4X -3 = 4(3/4) - 3 = 3 - 3 = 0.

  3. 3

    Inclua ambas as raízes se existirem duplicações. Por exemplo, se 5 for uma raiz da solução, X - 5 é um dos fatores polinomiais que você está procurando. Se a raiz 5 estiver na lista duas vezes, o fator polinomial X - 5 será usado duas vezes.

  4. 4

    Multiplique todos os fatores juntos e os termos obtidos para chegar no polinômio desejado. Por exemplo, se o fator for "Z + 2" e "Z + 3", a multiplicação ficará assim: (Z + 2)( Z + 3) = Z^2 + 2Z + 3Z + 6 = Z^2 + 5Z + 6. Todo o processo começa das raízes (-2 e -3) aos fatores que possuem essas raízes -- (Z + 2) e (Z + 2) -- para o polinômio que possui elas: o produto de (Z + 2) e (Z + 3), que é Z^2 + 5Z + 6.

Dicas & Advertências

  • Se existir uma raiz de número complexo, seu conjugado complexo também será uma raiz. Em outras palavras, se "a + bi" é uma raiz, "a - bi" também será uma raiz. É mais fácil e simples de se utilizar esse par para obter um fator polinomial sem partes complexas.
  • Se existir um zero na lista de raízes, existirá uma variável em cada termo do polinômio final. Além disso, o número de raízes deve ser igual ao número do maior expoente no polinômio final.

Não perca

Filtro:
  • Geral
  • Artigos
  • Slides
  • Vídeos
Mostrar:
  • Mais relevantes
  • Mais lidos
  • Mais recentes

Nenhum artigo disponível

Nenhum slide disponível

Nenhum vídeo disponível