Como integrar potências trigonométricas

Escrito por yvonne bernard | Traduzido por thiago andre scarani
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Como integrar potências trigonométricas
A trigonometria é um curso básico em muitos currículos de ensino médio (BananaStock/BananaStock/Getty Images)

O teorema fundamental do cálculo integral teve seu início no século 3 a.C, quando Arquimedes desenvolveu uma forma para determinar áreas. Levaria mais 2000 anos até que Newton e Leibniz publicassem os primeiros desenvolvimentos sistemáticos do cálculo. Este grande período de tempo se deveu, em grande parte, à complexidade do método original de Arquimedes. Só se obteve progresso significativo ao se desenvolver um método de integração muito mais simples, com o desenvolvimento da derivação e a descoberta de sua relação com a integral. O professor de Sir Isaac Newton, o matemático inglês Isaac Barrow, foi o primeiro a reconhecer esta relação. O teorema fundamental do cálculo integral é a base do mundo da engenharia, e possibilitou muito do progresso do mundo moderno.

Nível de dificuldade:
Moderadamente desafiante

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Instruções

    Reveja os fundamentos

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    Estude as definições das seis integrais trigonométricas comuns. Se familiarizar com elas economizará tempo ao integrar suas funções. Tendo u como função de x, então: Integral de (sen u · u’ dx ) = integral de (sen u du ) = −cos u + C Integral de (cos u · u’ dx) = integral de (cos u du) = sen u + C Integral de (sec^2 u · u’ dx) = integral de (sec^2 u du) = tan u + C Integral de (cossec^2 u · u’ dx) = integral de (cossec^2 u du) = −cot u + C Integral de (sec u tan u · u’ dx) = integral de (sec u tan u du) = sec u + C Integral de (cossec u cot u · u’ dx) = integral de (cossec u cot u du) = −cossec u + C Onde: sen = seno, cos = cosseno, sec = secante, cossec = cossecante, tan = tangente, cot = cotangente

  2. 2

    Aprenda as propriedades da integral indefinida. Ao conhecê-las, será mais fácil resolver a integração de uma integral trigonométrica, e poderá fazer uma substituição simples em parte do problema, ou até mesmo obter toda a solução. Se u(x) e v(x) são integráveis, então: A integral de x^n dx = [x^(n+1) / (n + 1)] + C (n diferente de -1) A integral de cv(x) dx = c vezes A integral de v (x) dx, onde c é uma constante A integral de [u(x) + v(x)] dx = a integral de u(x) dx + a integral de v(x) dx

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    Estude as identidades trigonométricas básicas, para se familiarizar com essas definições. Reconhecê-las é fundamental para resolver as integrais trigonométricas. Aqui estão as 12 mais comuns. Você pode encontrar uma lista completa em um livro de cálculo. Veja a seção de Recursos deste artigo para obter uma dessas listas.

    tan x = sen x / cos x cot x = cos x / sen x sec x = 1 / cos x cossec x = 1 / sen x sen^2 x + cos^2 x = 1 tan^2 x + 1 = sec^2 x 1 + cot^2x = cossec^2 x sen^2 x = 1/2 (1 - cos 2x) sen 2x = 2 sen x cos x cos^2 x = (cos 2x + 1) / 2 tan 2x = (2 tan x / 1 - tan^2 x cos^2 x = 1/2 (1 + cos 2x)

    Integração através do uso de fórmulas de derivadas

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    Considere a integral a ser avaliada. Este é o primeiro passo para avaliar ou resolver qualquer integração trigonométrica. Note a forma e a função trigonométrica da integral para escolher a aproximação correta.

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    Determine se a integral possui a mesma forma de qualquer uma das formas deivadas. Para isso, compare-a às formas. Se ela estiver em um formato igual a elas, basta substituir. Por exemplo, para saber a integral de sen x dx, olhe para a lista, ou lembre-se das definições, e pergunte-se se esta integral já foi derivada. Olhando na lista de definições, você verá que sen x dx é definida. Assim, escreva "integral de sen x dx = -cos x + C".

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    Manipule a expressão, se for possível chegar em uma forma derivada, caso não seja dada diretamente. Por exemplo, para avaliar a integral de x cos x^2 dx, lembre-se que, na lista de definições de integrais trigonométricas, que a integral de cos u u' dx = integral de cos u du, que é igual a sen u + C. Neste exemplo, u = x^2, e u'=2x. Lembre-se que u' é definido como sendo a derivada de u. Para obter uma explicação completa do teorema fundamental do cálculo e das derivadas, veja o texto da seção de Recursos deste artigo. A equação deve ser manipulada para se eliminar o 2 do 2x, pois ele não aparece na definição em questão. Para isso, multiplique ambos os lados da integral por 1/2. Isso não muda o valor da expressão, mas chega na forma correta. A expressão vira "integral de x cos x^2 dx = 1/2 integral de (1/2) 2x cos x^2 dx" ou "integral de x cos x^2 dx = 1/2 integral de x cos x^2 dx".

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    Resolva a integral resultante através da forma derivada. Seguindo o exemplo, a integral de x cos x^2 dx = 1/2 integral de x cos x^2 dx. A partir da lista de definições de integrais trigonométricas, se u é função de x, temos: integral de cos u u' dx = integral de cos u du Integral de cos u du = sen u + C Usando a forma derivada para resolver a equação: Integral de x cos x^2 dx = 1/2 sen x^2 + C.

    Integrais da forma: integral de sen^m u cos^n u u' dx

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    Avalie a integral sen^2 x cos^3 x dx. Note que ela é da forma sin^m u cos^n u u' dx. Estas integrais são definidas como "integral de sen^m u cos^n u u' dx = integral sen^m u cos^n u du". Defina os termos "m" e "n" neste caso, m = 2 e n = 3.

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    Determine se n é um inteiro positivo ímpar, ou se m é um inteiro positivo ímpar, ou se ambos são inteiros positivos pares. Neste exemplo, n = 3 e m = 2, logo, n é um inteiro positivo ímpar. Caso m também o fosse, a expressão seria reescrita com (m-1) no lugar de m. Por exemplo, se m fosse 3, então (3-1) ou 2 seria o novo expoente do termo, e a identidade trigonométrica seria sen^2 u = 1-cos^2 u. Se m e n são inteiros positivos pares, use as identidades "sen^2 x = (1 - cos 2x) / 2 e cos^2 x = (1 + cos 2x) / 2" para obter as potências ímpares do cosseno.

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    Reescreva a expressão como "sen^m u cos^n u = sen^m u cos^(n-1) u cos u". Especificamente, escreva "sen^2 x cos^(3-1) x = sen^2 x cos^2 x cos x dx".

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    Use a identidade cos^2x = 1 - sen^2 x para ter a expressão na forma correta. Usando o exemplo: Integral de sen^2 x cos^3 x dx = integral de sen^2 x cos^2 x cos x dx Integral de sen^2 x cos^2 x cos x dx = integra de sen^2 x (1 - sen^2 x) cos x dx Integral de sen^2 x (1 - sen^2 x) cos x dx = integral de (sen^2 x - sen^4 x) cos x dx Integral de (sen^2 x - sen^4 x) cos x dx = [(sen^3 x) / 3] - [(sen^5 x) / 5] + C.

    Substituições trigonométricas

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    Lembre-se das substituições comuns: Forma: (a^2 - u^2) ^ (1/2); substituição: u = a sen x; identidade: cos^2 x = 1 - sen^2 x Forma: (a^2 + u^2) ^ (1/2); substituição: u = a tan x; identidade: sec^2 x = 1 + tan^2 x Forma: (u^2 - a^2) ^ (1/2); substituição: u = a sec x; identidade: tan^2 x = sec^2 x - 1

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    Avalie a expressão dada. Por exemplo, avalie a forma integral de 0 a 3 de (9 - x^2) ^ (1/2) dx. Esta expessão possui a forma (a^2 - u^2) ^ (1/2), de forma que a substituição será u = a sen x, e a identidade usada será cos^2x = 1 - sen^2 x. Neste caso, a = 3, pois 3^2 = 9.

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    Faça a substituição. Como o intervalo vai de zero a três, comece substituindo x = 3 sen @ na equação original. Assim, você terá dx = 3 cos @ d @. Como a integral vai de 0 a 3, considere que quando x = 0, sen @ = 0 e @ = 0 quando x = 3, sen @ = 1 e @ = (3,14)/2.

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    Resolva a integral. Por exemplo, a integral de 0 a 3 de (9 - x^2) ^ (1/2) dx = integral de 0 a (3,14)/2 de (9-9 sin^2 @) ^(1/2) 3 cos @ d@ = integral de 0 a (3,14/2) de 9 cos^2 @ d@ = 9/2 * integral de 0 a (3,14)/2 de (1 + cos 2@) d@ = 9/2 (@ + (1/2) sen 2@) de 0 a (3,14)/2 = 9/2 [(3,14)/2 + 1/2 sen @) - (0 + 1/2 sen 0)] = (9 (3,14) )/4

Dicas & Advertências

  • A substituição trigonométrica é especialmente útil quando envolve os radicais das expressões quadráticas, mas pode ser usado também em outras circunstâncias. Há muitos métodos de integração. A integração das identidades trigonométricas e suas funções pode envolver outros métodos, como completar o quadrado, integração em partes ou integração de frações parciais e fatores lineares ou quadráticos e outras substituições variadas.
  • Há muitas fórmulas de integração, e o escopo deste assunto é tão grande que esta é apenas uma visão geral. Um curso de Cálculo 2 é recomendado para se ter uma visão completa do assunto.

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