Problemas e soluções de otimização em cálculo

Escrito por michael judge | Traduzido por fabiana silva
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Problemas e soluções de otimização em cálculo
O cálculo pode ser usado para encontrar o ponto mínimo e máximo de uma curva (Ryan McVay/Photodisc/Getty Images)

O nome cálculo vem da palavra latina usada para designar uma pequena pedra usada para contagem. Ele tem muitas aplicações na matemática e na ciência e uma delas é a solucionar problemas de otimização. É possível conseguir isso usando diferentes cálculos para encontrar o máximo de uma função, que geralmente é o ponto de otimização.

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A derivada

No cálculo, a derivada de uma função simples em um determinado ponto pode ser considerada como a inclinação da reta tangente a essa função nesse ponto. A derivada de uma função é encontrada pelo processo de diferenciação. Para uma função simples como f(x) = x^a, a primeira derivada é dada pela função f'(x) = a(x^(a-1)). Essa primeira derivada pode ser diferenciada, mais uma vez, usando exatamente o mesmo processo para dar uma segunda derivada da função. A primeira e a segunda derivada são necessárias para resolver problemas de otimização.

Máximo e mínimo

Para uma função que gera um gráfico de curva com pontos finitos máximos e mínimos; os pontos máximos ou mínimos desse gráfico aparecerão como picos e vales. Exatamente na parte superior de um pico ou na parte inferior de um vale, a reta tangente será perfeitamente horizontal e, por isso, terá inclinação zero. Assim, os pontos máximos ou mínimos de uma função ocorrerão nesses pontos em que a derivada é igual a zero. Para encontrar esses pontos de uma função, é necessário obter a primeira derivada, definir a derivada para zero e, em seguida, resolver a equação resultante.

Encontrando os pontos máximos e mínimos

A primeira derivada só encontra os pontos que são máximos ou mínimos, mas não faz uma diferenciação entre os dois. No entanto, como uma função passa por um máximo, o ritmo de mudança da inclinação da sua linha tangente é negativo, portanto, a segunda derivada da função em um ponto máximo será negativa. Da mesma forma, a segunda derivada será positiva no ponto de mínimo.

Problemas de otimização

A maioria dos problemas de otimização descreve uma situação física para a qual ela é necessária. As condições ideais são encontradas, primeiramente, traduzindo-se a situação em uma função e, em seguida, encontrando o valor no qual essa função tem um máximo. Para encontrar o ponto máximo, a primeira derivada da função é obtida, ajustada para zero e resolvida. Para garantir que o valor resultante dê um resultado máximo (em oposição a um mínimo), a segunda derivada da função é obtida e examinada para garantir que seja negativa.

Um exemplo de otimização

Um fazendeiro tem um pomar com 50 macieiras e cada uma produz 800 maçãs por ano. Se plantar mais três árvores, elas produzirão maçãs extras, mas cada árvore no pomar, além das 50, diminui dez maçãs por árvore. Quantas árvores adicionais devem ser plantadas para obter a maior quantidade possível de maçãs? Se x é o número de árvores adicionais, as maçãs totais por ano é f(x) = (50 + x)(800 - 10x) = 40.000 + 300x - 10x^2. A primeira derivada dessa função é f'(x) = 300 - 20x, de modo que o valor ideal de x ocorreria quando 300 - 20x = 0. Resolvendo x temos o valor de 15. Como uma nova verificação, a segunda derivada é f''(x) = -20, que é um valor negativo; assim, essa é o máximo. Então, o agricultor deve plantar 15 árvores a mais para obter uma colheita ideal de maçãs.

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