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Como calcular os coeficientes numa aproximação de Padé

Em matemática, nem sempre é possível ter um formato prático para uma função complicada. No entanto, uma técnica conhecida como a aproximação de Taylor permite que matemático reescrevam funções como somas finitas de termos. Aproximações de Taylor têm muitas utilidades, mas ainda há situações nas quais elas falham em oferecer precisão quando são truncadas. Nessas situações, uma forma diferente de aproximação, conhecida como a aproximação de Padé, é utilizada. Essa forma de aproximação é fácil de em formato de série de Taylor, mas para realmente encontrar uma aproximação de Padé é necessário calcular seus coeficientes.

Instruções

Nem sempre é possível ter um formato prático para uma função complicada (George Doyle/Stockbyte/Getty Images)
  1. Escreva a aproximação de Padé para a série de Taylor truncada que deve ser representada. A aproximação deve estar na forma sigma(Akx^k, para 0,…,N)/sigma(Bkx^k, para 0,…,M). Aqui, "sigma" se refere à notação sigma, que soma os termos internos. Ak e Bk são os coeficientes da aproximação de Padé. "M" e "N" são quaisquer números que estejam de acordo com a seguinte série de Taylor truncada: sigma(Ck*x^k, for 0,…,M+N).

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  2. Calcule a aproximação de Padé. Escreva as funções sigma no formato longo (como uma soma de termos). Por exemplo, sigma(Akx^k, for 0,…,2) irá virar A0 + A1x + A2*x^2. A solução será uma série de somas dividida por uma série somas (uma fração, essencialmente).

  3. Calcule a série de Taylor. Escreva a função sigma como um problema de adição. Por exemplo, se a série de Taylor truncada correspondente à aproximação de Padé for (Ckx^k, for 0,…,5), write C0 + C1x + C2x^2, …, C5x^5.

  4. Iguale a aproximação de Padé à série de Taylor. Você obterá uma equação que iguala uma fração de somas a uma série de somas.

  5. Resolva para os coeficientes Ak. Utilize álgebra básica. Por exemplo, você deve encontrar algo tipo: A0 = C0 e A1 = C1 + C0*B1.

  6. Resolva para os coeficientes Bk numericamente. Utilizando álgebra, passe o lado direito da equação que iguala à aproximação de Padé à série de Taylor para o lado esquerdo. Restará uma série de equações que se igualam a zero. Isso será uma série de equações lineares que você pode resolver utilizando métodos matriciais (para valores grandes de M e N, resolver isso à mão pode ser impraticável, então você deve usar um programa computacional para resolução de matrizes para encontrar os valores numéricos de Bk).

  7. Substitua os valores numéricos de Bk nas soluções dos coeficientes Ak. Seus coeficientes Ak devem agora ser números e não mais equações. Nesse ponto, você tem todos os coeficientes calculados.

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Referências

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