Como encontrar o volume de um cone através de integração dupla

Escrito por russelll | Traduzido por franciele gobi
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Como encontrar o volume de um cone através de integração dupla
Cones são formas tridimensionais presentes em nosso cotidiano (Jupiterimages/Photos.com/Getty Images)

Cálculo é uma inestimável ferramenta matemática. Pode ser usado para muitos propósitos diferentes e é utilizando na maioria da tecnologia moderna. Uma aplicação para o cálculo é encontrar o volume de complexas formas multidimensionais, tais como o cone.

Nível de dificuldade:
Moderadamente fácil

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Instruções

    Sessão 1

  1. 1

    Determine o raio e a altura do cone cujo volume deseja-se encontrar.

  2. 2

    Crie a integral para a área planar de qualquer corte vertical do cone no valor x. Essa integral possuirá a seguinte forma: A integral da raiz quadrada negativa de (r^2 - x^2) até a raiz quadrada positiva de (r^2 - x^2) de (h-(x^2+y^2)^(1/2) em relação a y. Seja esta integral representada por A, onde A é uma variável.

  3. 3

    Integre isto entre todos os valores de x, de -r a r. Essa integral possuirá a seguinte forma: Integral de -r a r de A em relação a x, onde A é a integral determinada no passo 2. Esse composto de integrais é a integral dupla que deve ser resolvida.

  4. 4

    Resolva a integral dupla à mão ou no computador. Um bom programa para resolver integrais é o Wolfram Mathematica Online Integrator. A resposta obtida será 1/3pir^2*h.

Dicas & Advertências

  • A integral dupla de um cone de raio 1 e altura 1 seria: S(-1, 1)[ (S(-sqrt(1-x^2), sqrt(1-x^2){h-sqrt(x^2 + y^2)}dy]dx, onde dy significa "em relação a y", e dx significa "em relação a x", S é o operador de integração e sqrt é o operador de raiz quadrada.

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