Como escrever valores absolutos em uma notação de intervalo

Escrito por carlos mano | Traduzido por luana ribeiro
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Como escrever valores absolutos em uma notação de intervalo
Intervalos e módulos focam nos aspectos importantes de um problema (Jupiterimages/Photos.com/Getty Images)

Notações de módulos, ou valores absolutos, são feitas com duas linhas verticais ao redor de um número. A expressão |x| significa o "módulo (valor absoluto) de x". |x| é sempre positivo. Então, |-3| = 3 e |+3| = 3. A notação de intervalo é uma maneira de combinar duas afirmações matemáticas em uma. Por exemplo, 3 < z < 5 é o intervalo de notação que combina as duas declarações, "z é maior do que 3" e "z é inferior a 5". Duas regras simples permitem que você faça a conversão entre módulo e notação de intervalo e vice-versa. Ambos os conceitos retiram elementos desnecessários para se concentrar em aspectos importantes de um problema matemático.

Nível de dificuldade:
Moderado

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Instruções

    Introdução aos termos

  1. 1

    Utilize módulos quando você estiver interessado na magnitude de uma expressão, mas não se ela é positiva ou negativa. Por exemplo, se sua localização está na origem do gráfico, no qual o leste é a direção positiva e oeste, a negativa, e você está interessado somente no consumo de combustível, é possível ignorar a direção positiva ou negativa que está associada à viagem. Declarações com valores absolutos às vezes são difíceis de visualizar se comparadas a notações de intervalos.

  2. 2

    Combine duas expressões para criar uma declaração relacionada a intervalos. As duas declarações podem limitar o intervalo que as inclui (inclusiva). Por exemplo, se z é um número positivo de um único dígito, você pode escrever 0 < z < 10. As duas declarações também podem definir duas partes dos números reais fora de um intervalo (excludente). Por exemplo, falar que k tem mais de dois dígitos é na realidade duas declarações: "k < -99" e "k > 99." Isso pode ser combinado em uma única notação de intervalo utilizando "&", como no seguinte exemplo: k < -99 & k > 99.

  3. 3

    Converta expressões modulares para notações de intervalos escrevendo duas declarações separadas que representam tanto valores positivos como negativos. Na primeira declaração, substitua os símbolos de módulos por parênteses precedidos de um sinal negativo. Já a segunda declaração é a mesma coisa, exceto que o sinal antes dos parênteses é positivo.

  4. 4

    Lembre-se dessas duas regras: 1. Qualquer desigualdade modular do tipo "menor que" segue esse padrão: se |x| < Z, ela pode ser expressa na forma -Z < x < Z. 2. Qualquer desigualdade modular do tipo "maior que" segue o padrão: se |x| > Z, ela pode ser expressa na forma x < -Z ou x > a.

    Problema práticos

  1. 1

    Resolva |3x + 7| < 12. Primeiro, reescreva a expressão usando o padrão "menor que" (veja a Seção 1, Passo 4): -12 < 3x + 7 < 12

  2. 2

    Agora subtraia 7 de todos os lados e divida por 3 para obter "x": -19 < 3x < 5 -19/3 < x < 5/3 Então, a solução para |3x + 7| < 12 é -19/3 < x < 5/3.

  3. 3

    Expresse a notação de intervalo -1 < x < 5 como um valor absoluto. Comece olhando pelos finais da notação, -1 e 5. Esses inteiros estão distanciados de 6 unidades inteiras; a metade de 6 é 3. Então, reescreva a expressão para encontrar -3 e +3 de cada lado. Para fazer isso, subtraia -2 de ambos os lados.

  4. 4

    Agora você tem -3 < x - 2 < 3. Verifique pelo padrão "menor que" na Seção 1, Passo 4. Você verá que ficou como |x| < Z = -Z < x < Z, logo, segundo o padrão, é possível escrever isso na forma de valor absoluto como: |x - 2| < 3.

Dicas & Advertências

  • Algumas vezes, a notação de intervalo representa números fora de um intervalo, como x 10. A mesma regra se aplica, então, subtraia 5 de todas as três partes para encontrar x - 5 5. Multiplicando toda a primeira expressão por -1, nós temos -(x - 5) > 5 e +(x - 5) > 5, logo |x - 5| > 5.
  • Se você multiplicar ou dividir uma desigualdade por um número negativo, o sinal dela será invertido.

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