Como fatorar equações cúbicas

Escrito por carlos mano | Traduzido por josé fabián
Como fatorar equações cúbicas

Uma calculadora gráfica é de muita ajuda ao fatorar equações cúbicas

Jupiterimages/BananaStock/Getty Images

As equações cúbicas são equações polinômicas de grau 3, ou seja, o exponente máximo delas é 3. Essas equações sempre têm um monômio, e pode haver 3 deles ou apenas um e dois fatores binomiais, os quais não podem ser fatorados. Encontrar esses fatores é importante para resolver as equações, e o processo consiste em buscar alguns fatores candidatos, gerados pelos coeficientes da equação cúbica.

Nível de dificuldade:
Moderado

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Instruções

  1. 1

    Crie o gráfico da equação cúbica. O número de vezes que a curva atravessar o eixo X indicará como será fatorada a equação. Se a curva atravessar o eixo X três vezes, haverá três monômios como raízes. Se o eixo for atravessado apenas uma, o polinômio será fatorado em um monômio e dois binômios, e os binômios primos poderão ser decompostos em fatores complexos com a fórmula quadrática. A calculadora gráfica não é absolutamente necessária, mas acelerará o processo, pois frequentemente pode sugerir o fator candidato a testar. Se a curva atravessar o eixo X em um ponto P, um fator provável será X - p.

  2. 2

    Busque o fator candidato procurando todas as combinações dos fatores do primeiro número e do último na equação cúbica. Por exemplo, se a equação for Y = 3X^2 - 10X^2 + 9X - 2, os fatores do primeiro número serão 1 e 3, e os do último número serão 1 e 2. Os fatores candidatos do termo cúbico serão X -1, X + 1, X - 2, X + 2, 3X -1, 3X + 1, 3X - 2 e 3X + 2. Três deles dividirão a cúbica, portanto Y = 3X^2 - 10X^2 + 9X - 2 = (X - 1)(X - 2)(3X - 2).

  3. 3

    Use a fórmula quadrática para decompor os binômios em dois fatores complexos. Por exemplo, X^3 - 5X^2 + 9X - 5 = (X -1)(X^2 -4X + 5) e X^2 -4X + 5 é primo para monômios de valor real. Usando a fórmula quadrática, podemos decompor X^2 -4X + 5 em fatores complexos para obter X^3 - 5X^2 + 9X - 5 = (X -1)(X - 2 - i)(X - 2 + i).

Dicas & Advertências

  • A fórmula quadrática diz que as raízes de aZ^2 + bZ + c são Z = (-b + (b^2 - 4ac)^0.5))/2a e Z = (-b - (b^2 - 4ac)^0.5))/2a. Elas podem ser complexas.
  • Você não pode ler os fatores diretamente a partir do gráfico, mesmo que a curva atravesse o eixo X três vezes. Use a calculadora como guia; você precisará revisar os divisores para certificar-se de estar fatorando a equação corretamente.

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