Fatores para equações de quarto grau

Escrito por carlos mano | Traduzido por alexandre amorim
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Fatores para equações de quarto grau
Um polinômio de quarto grau terá ao menos cinco termos (Jupiterimages/Photos.com/Getty Images)

Polinômios são somas de termos que são compostos por múltiplos de uma variável à uma determinada potência. O grau de um polinômio é o valor do maior expoente. Fatorar um polinômio é o primeiro passo para encontrar as suas raízes, que são os valores que quando substituem as variáveis, fazem com que o polinômio seja igual a zero. O grau dá o máximo de raízes esperadas.

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Gráficos

Faça o gráfico da equação para ter algum entendimento sobre os fatores. Os resultados que conseguir de um gráfico nem sempre são confiáveis, mas eles podem acelerar o processo de fatoração. A ideia básica é que os lugares onde a curva do gráfico cruza o eixo X representam uma raiz no polinômio. se a curva cruzar o eixo X no ponto "r", então "x - r" é um fator do polinômio. Às vezes, os gráficos são difíceis de ler e se comportam de forma estranha quando existem múltiplas raízes, mas se tiver acesso a uma calculadora de gráficos ou um software de gráficos, ainda é possível acelerar o processo de fatoração.

Fatores candidatos

Os fatores candidatos binomiais de um polinômio podem ser gerados a partir do primeiro e do último número em um polinômio. Por exemplo, o polinômio de quarto grau 2X^4 + 5X^3 - 5X^2 - 5X + 3 possui o primeiro coeficiente 2, com fatores 1 e 2 e o último coeficiente 3, com fatores 1 e 3. Os fatores candidatos são X - 1, X + 1, X - 3, X + 3, 2X - 1, 2X + 1, 2X - 3 e 2X + 3. Tente dividir o polinômio pelos fatores candidatos e ver qual deles não deixa resto, para encontrar os fatores de 2X^4 + 5X^3 -5X^2 - 5X + 3.

Raízes

Se 2X^4 + 5X^3 - 5X^2 - 5X + 3 = (X - 1)(X + 1)(X + 3)(2x - 1), as soluções para os quatro fatores também são as raízes do polinômio de quarto grau. A solução de X - 1 = 0 é X = 1. A solução de X + 1 = 0 é X = -1. A solução de X + 3 = 0 é X = -3. E a solução de 2X - 1 = 0 é X = 1/2. Isso significa que as raízes de 2X^4 + 5X^3 -5X^2 - 5X + 3 são 1, -1, -3 e 1/2.

Raízes complexas

O grau de um polinômio de quarto grau implica que existem quatro raízes e quatro fatores. Se encontrar menos que quatro, alguns deles podem ser múltiplos. Por exemplo, X^4 - 6X^3 + 13X^2 - 12X + 4 = (X^2 - 4X + 4)(X - 1)^2, então X-1 é um fator múltiplo. Outra possibilidade é que existam raízes complexas, que sempre vêm em pares. Elas são indicadas quando a curva no gráfico não cruza o eixo "X". Uma equação de quarto grau pode ter dois pares de raízes complexas e a curva do gráfico desse polinômio não irá cruzar o eixo "X" de forma alguma.

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