Ideias básicas do teorema do resto

Escrito por saifuddin abdullah | Traduzido por aline ferreira
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Ideias básicas do teorema do resto
O teorema do resto permite que você identifique o restante de qualquer divisão polinomial (Burke/Triolo Productions/Brand X Pictures/Getty Images)

A teoria do resto é uma proposição matemática que generaliza o resto, ou a quantia restante depois de um processo de divisão, apresentando uma relação entre os valores do divisor e do dividendo. Esse teorema é também conhecido como "teorema do resto polinomial", já que estabelece a relação entre o dividendo e o resto, representando-os como polinômios (qualquer combinação aritmética de números e variáveis) constituídos por uma relação simples de valores divisivos. Essa relação e seu teorema correspondente são aplicáveis para qualquer número ou em qualquer processo de divisão entre numerais que podem ser representados por polinômios.

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Afirmação matemática

Qualquer polinômio f(y) dividido por um número em uma forma (y-d) resulta em um divisor "r" que também pode ser representado por outro polinômio f(d), onde "d" e "r" são complementares e "y" é uma variável constituinte do dividendo polinomial. Esta afirmação apresenta a ideia básica de que o resto da divisão de f(y) também pode ser obtido simplesmente calculando o valor polinomial de f(d), dado que os valores de "y" e "d" são conhecidos.

Implemetação

A implementação do teorema do resto é normalmente realizada em polinômios de diferentes graus, a fim de obter seus restos. O "grau" de um polinômio se refere ao mais alto valor de suas variáveis, e não há relação entre seu valor e o do resto obtido. Um exemplo de implementação do teorema em um polinômio simples pode ser explicado considerando o polinômio de amostra f(y) = 2y-4 , dividido por (y-3). Uma vez que y=3, portanto, colocar "y" em f(y) resulta em 2(3)-4, o que resulta em 2, como o resto do processo de divisão. Desse modo, o teorema do resto torna possível obter o valor do resto sem passar pelo longo processo de divisão.

Aplicações

O teorema do resto é usado extensamente por estudantes de matemática quando lidam com polinômios de alto grau, cuja divisão é difícil e demorada. Além disso, esse teorema de generalização também é empregado na engenharia de softwares e em aplicações matemáticas eletrônicas, por meio das quais os polinômios de alto grau e grandes estruturas aritméticas são divididos sem nenhuma complexidade.

Associações

A associação mais relevante do teorema é com o processo de "divisão de longos polinômios" (outro método de divisão polinomial), que emprega um processo mais detalhado para dividir polinômios de diferentes graus. Adicionalmente, esse teorema é de fácil associação com o "Teorema de Little Bezout", que, na realidade, é a forma original do teorema do resto. Outra associação da teoria do resto é com o teorema dos fatores, que é simultaneamente usado com a fórmula para obter as raízes de um polinômio. Finalmente, um teorema conhecido como "Teorema chinês do resto" é uma modificação do teorema do resto, mas sua aplicação está inteiramente no domínio da teoria avançada dos números (um ramo da matemática pura) em vez das equações algébricas comuns.

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