Como fatorar polinômios elevados à terceira potência

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Um polinômio elevado à terceira potência, também chamado um polinômio cúbico, inclui, pelo menos, um monômio ou termo cúbico ou elevado à terceira potência. Um exemplo de um polinômio elevado à terceira potência é 4x^3 - 18x^2 - 10x. Aprender a fatorar esses polinômios, começa a ficar confortável com três cenários diferentes de fatoração: soma de dois cubos, diferença de dois cubos e trinômio. Em seguida, você pode passar para as equações mais complicadas, como polinômios com quatro ou mais termos. Quando você está fatorando um polinômio, está essencialmente dividindo a equação em pedaços (fatores) que, quando multiplicados voltarão para a equação original.

Fatorar a soma de dois cubos

Passo 1

Use a fórmula padrão a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2), quando fatorar uma equação com um termo ao cubo adicionado a outro termo ao cubo, como x^3 + 8.

Passo 2

Determine o que representa ''a'' na equação que está fatorando. No exemplo x^3 + 8, o ''x'' representa ''a'', já que x é a raiz cúbica de x^3.

Passo 3

Determine o que representa ''b'' na equação que está fatorando. No exemplo, x^3 + 8, b^3 é representado por 8, sendo assim, b é representado por 2, já que 2 é a raiz cúbica de 8.

Passo 4

Fatore o polinômio preenchendo os valores de a e b na solução (a+b)(a^2 - ab + b^2). Se a=x e b=2, então a solução é (x+2)(x^2 - 2x + 4).

Passo 5

Resolva uma equação mais complicada usando o mesmo método. Por exemplo, resolva 64y^3 + 27. Determine que 4y representa a e 3 representa b. A solução é (4y+3)(16y^2 - 12y + 9).

Fatorar a diferença de dois cubos

Passo 1

Use a fórmula padrão a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2), quando fatorar uma equação com um termo ao cubo subtraindo outro termo ao cubo, como 125x^3 - 1.

Passo 2

Determine o que representa a no polinômio em que está fatorando. Em 125x^3 - 1, 5x representa a, já que 5x é a raiz cúbica de 125x^3.

Passo 3

Determine o que representa b no polinômio. Em 125x^3 - 1, 1 é a raiz cúbica de 1, portanto, b = 1.

Passo 4

Preencha os valores a e b em sua solução de fatoração (a-b)(a^2 + ab + b^2). Se a=5x e b=1, a solução é (5x-1)(25x^2 + 5x +1).

Fatorar um trinômio

Passo 1

Fatore um trinômio elevado à terceira potência (um polinômio com três termos), como x^3 + 5x^2 + 6x.

Passo 2

Pense em um monômio que é um fator de cada um dos termos de sua equação. Em x^3 + 5x^2 + 6x, o x é um fator comum para cada um dos termos. Coloque o fator comum em evidência usando um par de parênteses. Divida cada termo da sua equação original por x e coloque a solução dentro dos parênteses: x(x^2 + 5x + 6) x^3 dividido por x é igual a x^2, 5x^2 dividido por x é igual a 5x e 6x dividido por x é igual a 6.

Passo 3

Fatore o polinômio que está dentro dos parênteses. No exemplo, isto é (x^2 + 5x + 6). Pense em todos os fatores de 6, o último termo do polinômio. Os fatores de 6 são 2x3 e 1x6.

Passo 4

Note o termo do centro do polinômio entre parêntesis, 5x neste caso. Selecione os fatores de 6 que se somam a 5, o coeficiente do termo central. Os valores 2 e 3 são somados a 5.

Passo 5

Escreva duas séries de parênteses. Coloque x no início de cada parênteses, seguido por um sinal de adição. Ao lado de um sinal de adição escreva o primeiro fator selecionado (2). Próximo ao segundo sinal de adição escreva o segundo fator (3). Deve se parecer com isto:

(x+3)(x+2)

Lembre-se do fator comum original (x) para escrever a sua solução completa: x(x+3)(x+2)

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