Como derivar funções em cálculo

Escrito por damien thryn | Traduzido por erika f curto
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Como derivar funções em cálculo
Aprenda a derivar funções em cálculo (Hemera Technologies/AbleStock.com/Getty Images)

A diferenciação das funções em cálculo, também chamada de derivada, é o processo de encontrar uma nova função que represente a taxa à qual os valores de y mudam para valores dados de x ao longo de cada ponto da curva inicial. Existem várias regras importantes a serem seguidas ao derivar funções, entre elas, a regra da potenciação, regra do quociente e regra da cadeia. A derivada geral de uma função de base polinomial da forma x elevado à n-ésima potência (x^n) é simplesmente x elevado a n-1 e multiplicado por n, agora um coeficiente (nx^(n-1)). Derivadas encontram-se em cálculo e em física, podendo-se aplicar as regras de diferenciação de vetores e funções trigonométricas.

Nível de dificuldade:
Moderadamente fácil

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Instruções

  1. 1

    Escreva a função completa a ser derivada em um pedaço de papel. Deixe bastante espaço entre os termos na função e abaixo da equação para ter espaço de trabalho. É útil escrever cada passo executado.

  2. 2

    Examine os termos da função que podem ser facilmente derivados usando a regra da potenciação. Cada termo da função pode ser derivado separadamente, contanto que não seja parte de uma composição de funções. Termos independentes da forma a*x^n, em que "a" é um coeficiente numérico e "n" é uma potência, podem ser facilmente derivados usando a regra da potenciação, e devem ser derivados primeiro. A derivada seguirá a forma de n vezes a constante a vezes x, sendo x elevado à potência de 1 menos o n original.

  3. 3

    Use a regra do quociente para derivar os termos em que haja uma variável no denominador. Por exemplo, uma função da forma (x + 1)/(x - 1) deve ser derivada usando a regra do quociente, que segue a forma geral de ((f'g) - (fg'))/(g^2), onde f é o numerador, f' é a derivada do numerador, g é o denominador e g' é a derivada do denominador. As derivadas f' e g' são encontradas usando a regra da potenciação.

  4. 4

    Aplique a regra da cadeia para diferenciar funções compostas. Estas são funções nas quais existe uma variável tanto no lado de dentro quanto ao lado de fora de um determinado conjunto de parênteses, o que significa que existem, na verdade, múltiplas subfunções sendo derivadas. Por exemplo, na expressão sen(x^2), existem duas funções: x ao quadrado e seno de x. A regra da cadeia especifica que, para estas funções, a derivada é f'(g)*g', em que f'(g) é a derivada da função de fora avaliada na de dentro e g' é a derivada da função de dentro.

  5. 5

    Encontre quaisquer derivadas de casos especiais que estejam presentes na função e use as regras de diferenciação específicas que se apliquem. Por exemplo, a derivada de qualquer constante é simplesmente 0. A derivada da exponencial e^x é simplesmente e^x. A derivada do logaritmo natural de x (lnx) é 1/x. Cada operação de cálculo é acompanhada por uma regra de diferenciação.

Dicas & Advertências

  • Cada derivada de um termo independente fica sozinha dentro da função, então, depois que a diferenciação estiver completa para cada termo em uma função, é possível simplesmente combinar os termos derivados juntos em uma nova equação, que é a equação geral derivada da função original. Muitas vezes, é possível utilizar técnicas algébricas para simplificar mais a função, se você assim o desejar.
  • Encontrar a derivada pode ser extremamente útil. Em física, a derivada de uma função de posição fornece a função da velocidade que descreve o movimento de um objeto. A derivada desta função de velocidade fornece a função de aceleração do objeto.
  • Algumas regras, como a regra da cadeia, exigem outras regras de diferenciação a serem aplicadas para completar o caminho para a derivação presente na regra da cadeia. Lembre-se de derivar totalmente cada componente de uma função composta ao fazer a regra da cadeia.

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