Como integrar potências de seno e cosseno

Escrito por james mcilhargey | Traduzido por juliana ferreira dos anjos
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Como integrar potências de seno e cosseno
Cáculos integrais de funções trigonométricas são exercícios comuns dos alunos de cálculo (BananaStock/BananaStock/Getty Images)

A integração de funções trigonométricas é uma parte importante dos problemas apresentados aos alunos de cálculo. A integração trigonométrica baseia-se em uma grande variedade de identidades disponíveis aos alunos. Sabe-se que as propriedades a serem usadas farão o cálculo da integração simples, mesmo potências de seno e cosseno.

Nível de dificuldade:
Moderadamente desafiante

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Instruções

  1. 1

    Transforme o integrado em termos de seno e cosseno, usando a identidade de Pitágoras, que afirma que sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Se o integrado contem potência no seno e no cosseno, então sin^m(x)cos^n(x) pode ser escrito como sin^{2k}(x)cos^n(x) = cos^n(x)(1 - cos^2(x))^k. Em seguida, a exponenciação pode ser expandida em uma soma das potências dos cossenos. Por exemplo, se o integrado é sin^4(x)cos^4(x), então a identidade de Pitágoras rende cos^4(x)(1 - cos^2(x))^2 = cos^4(x)(1 - 2cos^2(x) + cos^4(x)) = cos^4(x) - 2cos^6(x) + cos^8(x).

  2. 2

    Use uma técnica de redução da potência para reduzir a potência de cada termo. Estas identidades afirmam que, para a mesma potência n, o integral de sin^n(x), Int{sin^n(x)} é int{sin^n(x)} = -sin^(n - 1)(x)cos(x)/n + (n - 1) / n * int{sin^(n - 2)(x)} e para o cosseno int{cos^n(x)} = cos^(n - 1)(x)sin(x) / n+ (n - 1)/n * int{cos^(n - 2)(x)}. Use estas identidades para reduzir as potências até um integrante dos dois cos^2(x) ou sin^2(x). No exemplo acima, a integração do segundo termo de -2cos^6(x) pode ser reduzida para int{-2cos^6(x)} = -2[cos^5(x)sin(x) / 6 + 5 / 6 * int{cos^4(x)}] = -2[cos^5(x)sin(x) / 6 + 5 / 6 * (cos^3(x)sin(x) / 4 + 3 / 4 * int{cos^2(x)})] = -cos^5(x)sin(x) / 3 - 5 / 12 * cos^3(x)sin(x) - 15 / 12 * int{cos^2(x)}.

  3. 3

    Use a redução de potência de ângulo duplo. Essa redução afirma que sin^2(x) = (1 - cos(2x)) / 2 and cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2. Isso irá substituir o final cos^2 ou sin^2 na cadeira de integração acima. Uma vez substituído, a integral será simples de executar: int{cos^2(x)} = int{(1 + cos(2x))/2} = (2x + sin(2x)) / 4 and int{sin^2(x)} = int{(1 - cos(2x)) / 2} = (2x - sin(2x)) / 4. No exemplo acima de -2cos^6(x), então int{-2cos^6(x)} = -cos^5(x)sin(x) / 3 - 5 / 12 * cos^3(x)sin(x) - 15 / 48 * sin(2x) - 15 / 24 * 2x, com a adição da constante de integração. Os outros termos da integral original podem ser tratados de forma semelhante e o final da equação, alcançado.

  4. 4

    Combine termos e aplique limites de integração. Neste ponto, você deve ter uma longa sequência de termos integrados. Termos comuns são usados para combinar vários elementos da soma, a fim de simplificar a integração. Se há limites para a integração, aplique-os para simplificar um único resultado numérico. Se não há limites, deixe a equação como ela é e adicione +C, a fim de considerar a constante da integração.

Dicas & Advertências

  • Certifique-se de lidar com cada termo separadamente com cuidado. Como as potências de seno e cosseno crescem, também o número de termos individuais para integrar.

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