Como fatorar polinômios de quarto grau

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Fatorar um polinômio de quarto grau não precisa terminar com você puxando todos os seus cabelos. Um polinômio de quatro grau é composto de termos de uma única variável de diferentes graus combinados com coeficientes numéricos e constantes. Esses polinômios podem possuir até quatro raízes distintas quando a equação é fatorada, e aprender uma forma sistemática de fatorá-los pode fornecer uma resolução mais rápida e um entendimento mais profundo do polinômio e sobre como ele funciona.

Passo 1

Fatore o maior coeficiente e a constante do polinômio. Por exemplo, utilizando a equação x^4-x^3-19x^2+3x+18, o maior coeficiente é 1, e seu único fator é 1. A constante da equação é 18, e seus fatores são 1, 2, 3, 6, 9, 18. Divida os fatores da constante pelos fatores do coeficiente. Os fatores divididos são 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Passo 2

Divida as formas negativas e positivas dos fatores divididos na equação utilizando divisão sintética para encontrar os zeros, ou as raízes da equação. Configure a equação utilizando apenas os coeficientes, conforme mostrado a seguir:

| 1 -3 -19 3 18 |__

e multiplique e some os fatores divididos aos coeficientes. Utilizando o fator dividido 1 conforme mostrado a seguir:

1 | 1 -3 -19 3 18 |__

primeiro leve o fator dividido 1 logo abaixo da linha de divisão:

1 | 1 -3 -19 3 18 _ |__ 1

então multiplique aquele número pelo fator divisor e some-o ao próximo termo dessa forma:

1 | 1 -3 -19 3 18 | 1 |___ __ 1 -2

Trabalhe todos os termos da equação conforme mostrado a seguir:

1 | 1 -3 -19 3 18 | _ 1 -2 -21-18 |__ __ 1 -2 -21 -18 0

Como o último número é zero e não há resto para a última posição, isso significa que 1 é um fator da equação.

Passo 3

Escreva uma nova equação com uma potência a menos, utilizando os restos da divisão sintética. Para o exemplo, a nova equação é x^3 - 2x^2 -21x -18.

Passo 4

Recomece o processo com a nova equação, encontrando os fatores do maior coeficiente e a constante e então dividindo-os. Para a equação x^3 - 2x^2 -21x -18, o maior coeficiente é 1, o que significa que ele possui apenas um fator de 1. A constante é 18, então possui os fatores 1, 2, 3, 6, 9, 18. Dividir os fatores resulta em 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Passo 5

Realize a divisão sintética das formas positiva e negativa dos fatores divididos nos coeficientes. Para esse exemplo:

-1 | 1 -2 -21 -18 | -1 3 18 __|__ _ 1 -3 -18 0

Logo, -1 é um fator da equação.

Passo 6

Escreva uma nova equação com uma potência a menos utilizando os restos da divisão sintética. Para esse exemplo, a nova equação é x^2 - 3x -18.

Passo 7

Encontre os últimos dois fatores utilizando a fórmula quadrática (Bhaskara), que usa os coeficientes da equação, que deve possuir a forma ax^2+bx+c, em que a fórmula quadrática fará uso dos valores de a, b e c, que são 1, -3 e -18 no exemplo. A fórmula quadrática é:

x= -b +/- √ (b^2 - 4ac)

2a

então multiplique os valores a e c, que são 1 e -18, por 4, o que resulta em -72. Subtraia essa quantidade de b elevado ao quadrado, que é 3^2, ou 9. Logo, 9 menos -72 é igual a 81. Encontre a raiz quadrada da diferença, que, para o exemplo, é igual a 9. Subtraia e some o valor a -b, que é -(-3), ou 3, de forma que 3 menos 9 é -6 e 3 mais 9 é 12. Divida ambos os valores por 2a, ou 2 * 1, que é 2, e obterá -3 e 6, que são os dois fatores da equação. Portanto, os quatro fatores da equação x^4-3x^3-19x^2+3x+18 são 1, -1, -3 e 6.

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