Fórmula para o cálculo da área de um octógono

A fórmula para o cálculo da área de um octógono regular com lados de comprimento "a" é: 2 x (1 + raiz(2)) x a², na qual "raiz" indica a raiz quadrada.

Derivação

Um octógono pode ser visto como quatro retângulos, um quadrado no centro e quatro triângulos isósceles nos cantos.

O quadrado tem uma área de "a²".

Os triângulos têm lados "a", a/raiz(2) e a/raiz(2), pelo teorema de Pitágoras. Portanto, cada um tem uma área de a^2/4.

Os retângulos têm uma área de a x a/raiz(2).

A soma dessas nove áreas é 2a² (1 + raiz(2)).

Fórmula para o cálculo do volume do octaedro

A fórmula para o volume de um octaedro regular de lados "a" é a³ x raiz(2)/ 3.

Derivação

A área de uma pirâmide de quatro lados é: base x altura/3. A área de um octógono regular, por conseguinte, é 2 x base x altura / 3.

Base = a².

Escolha dois vértices adjacentes, chame de "F" e "C". "O" é o centro. FOC é um triângulo isósceles direito com base "a", de modo que OC e OF têm comprimento a/raiz(2) pelo teorema de Pitágoras. Assim, altura = a/raiz(2).

Portanto, o volume de um octaedro regular é 2 x (a²) x a/raiz(2) / 3 = a³ x raiz(2)/3.

Área da superfície

A superfície do octaedro regular é a área de um triângulo equilátero de lado "a" vezes suas oito faces.

Para usar o teorema de Pitágoras, faça uma linha do ápice para a base. Isso cria dois triângulos, com a hipotenusa de comprimento "a" e o comprimento de um lado "a/2." Por conseguinte, o terceiro lado deve ser raiz[a² - a^2/4] = raiz(3)a/2. Assim, a área de um triângulo equilátero é altura x base/2 = raiz(3)a/2 x a/2 = raiz(3)a^2/4.

Com oito lados, a área da superfície de um octaedro regular é 2 x raiz(3)a².