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Como descobrir o ângulo entre diagonais de um cubo

Atualizado em 17 abril, 2017

Caso tivesse que fazer um quadrado e desenhasse duas linhas diagonais, elas se cruzariam no centro dele e formariam quatro triângulos retângulos; as duas linhas se cruzam em um ângulo de 90 graus. É possível descobrir intuitivamente que essas duas diagonais em um cubo, cada uma percorrendo de um canto ao outro e se cruzando no centro, também podem se cruzar nos ângulos retos; mas isso seria um engano. A determinação do ângulo no qual as duas diagonais se cruzam é ligeiramente mais complicada do que parece em um primeiro momento, mas ela é uma boa prática para compreender os princípios de geometria e trigonometria.

Instruções

Descobrir o ângulo entre duas diagonais de um cubo exige um pouco de trigonometria (Ablestock.com/AbleStock.com/Getty Images)
  1. Defina o comprimento de uma aresta como uma unidade. Por definição, cada aresta no cubo possui um comprimento igual a uma umidade.

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  2. Use o teorema pitagórico para determinar o comprimento da diagonal que vai de um canto ao outro no mesmo lado, que pode ser nomeada de "diagonal menor", por motivos de clareza. Cada lado do triângulo retângulo formado é uma unidade, então a diagonal deve ser igual a √2.

  3. Use o teorema pitagórico para determinar o comprimento de uma diagonal percorrendo de um canto ao outro, de outro lado do cubo, que pode ser nomeada de "diagonal maior". Você terá um triângulo reto em um lado equivalendo a uma unidade e um lado igual à "diagonal menor", que equivale a raiz quadrada de duas unidades. O quadrado da hipotenusa é igual à soma do quadrado dos lados, assim a hipotenusa deve ser √3. Cada diagonal percorrendo de um canto ao outro em outro lado do cubo é igual a √3 unidades.

  4. Desenhe um retângulo para representar duas diagonais maiores atravessando o centro do cubo e considere que deve ser descoberto o ângulo da intersecção deles. Esse retângulo deve possuir 1 unidade de altura e √2 unidades de largura. As diagonais maiores se cruzam no centro desse retângulo e formam dois tipos diferentes de triângulos. Um deles terá um lado igual a 1 unidade e os outros dois iguais a √3/2 (metade do comprimento de uma diagonal maior). O outro terá dois lados iguais a √3/2, mas o seu primeiro será de √2. É preciso apenas analisar um dos triângulos, escolher o primeiro e descobrir o ângulo desconhecido.

  5. Use a fórmula trigonométrica "c² = a² + b² - 2ab x cos C" para descobrir o ângulo desconhecido desse triângulo. "C=1", e "b" e "a" são iguais a √3/2. Colocando esses valores na equação, descobre-se que o cosseno do ângulo é 1/3. O inverso do cosseno 1/3 corresponde a um ângulo de 70,5 graus.

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Referências

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