Fatorando polinômios

Escrito por tuesday fuller | Traduzido por júlia polachini
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Fatorando polinômios
O polinômio "a²+2ab+b²" é um exemplo de quadrados perfeitos (Jupiterimages/Photos.com/Getty Images)

Uma expressão algébrica que possui mais de um termo é chamada polinomial. Você forma expressões polinomiais multiplicando duas binomiais, usando a propriedade distributiva ou pelo método FOIL (primeira, externa, interna, última). Para fatorar um polinômio, desfaça o processo de multiplicação, ou seja, divida os termos por seus fatores até que você tenha transformado seu polinômio em sua notação original. A fatoração é confusa para alguns alunos, pois há regras para certos polinômios. Praticar é a chave para se familiarizar com o processo.

Nível de dificuldade:
Moderado

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Instruções

    Fatorando com o MDC (Maior fator comum)

  1. 1

    Encontre o maior fator comum do polinômio. Por exemplo, 8x + 4, que você pode ler como "oito x mais quatro". O quatro está presente em ambos os termos.

  2. 2

    Retire o maior MDC da expressão, e então divida ambos os termos por ele: 8x ÷ 4 = 2 e 4 ÷ 4=1.

  3. 3

    Coloque o restante em notação. 4(2x + 1) lê-se como "quatro vezes a quantidade de dois x mais um".

    Fatorar por agrupamento

  1. 1

    Examine a expressão 2x³ + 3x² + 8x + 12. Lê-se como "dois 'x' ao cubo, mais três 'x' ao quadrado, mais oito vezes 'x', mais doze". Esse polinômio possui quatro termos; Você irá fatorá-lo usando um processo chamado agrupamento.

  2. 2

    Divide-se a expressão ao meio, para fatorar um lado de cada vez. 2x³ + 3x² de um lado e 8x+12 do outro.

  3. 3

    Descubra o MDC do primeiro grupo de termos; x ao quadrado divide facilmente ambos. Coloque-o em evidência, e o restante deixe entre parênteses: x²(2x+3). Lê-se como "x ao quadrado vezes a quantidade de dois x mais três".

  4. 4

    Repita o processo para a segunda parte dos termos. O MDC é 4, então coloque-o em evidência e deixe o que sobrar entre parênteses: 4(2x + 3). Lê-se "quatro vezes a quantidade de duas vezes 'x' mais três". Note que os termos dentro do parênteses combinam. Essa é a chave da fatoração por grupo.

  5. 5

    Reescreva os termos multiplicando os termos entre parênteses pelos externos: (2x + 3)(x² + 4) Lê-se "a quantidade de dois 'x' mais três vezes a quantidade de 'x' quadrado mais quatro".

    Fatorando com diferença de quadrados

  1. 1

    Examine a expressão 9x² - 4, "nove x ao quadrado menos quatro". É um binômio: dois termos que são a diferença um do outro. É chamado de uma diferença de quadrados porque embora o primeiro e o último termo sejam quadrados, quando você fatorá-los, o termo médio desaparecerá.

  2. 2

    Extraia a raiz quadrada do primeiro termo (9x²), que é 3x, e a raiz do segundo termo (4), que é igual a 2. Escreva as raízes quadradas em notação com parênteses, usando um sinal negativo e outro positivo. Lê-se (3x + 2)(3x - 2) como "a quantidade de 3 'x' mais dois, vezes a quantidade de três 'x' menos dois".

  3. 3

    Use a propriedade distributiva na fatoração para checar se está correta. Multiplique os primeiros termos, 3x * 3x = 3x². Multiplique os termos extermos, 3x * (-2x) = -6x. Multiplique os termos internos, 2 * 3x = 6x. Multiplique os últimos termos, 2 * 2 = -4.

  4. 4

    Combine os termos semelhantes, -6x + 6x. Os termos se cancelarão, e deixarão o polinômio original.

    Fatorando quadrados perfeitos

  1. 1

    Examine a expressão 49a² - 70a + 25, que você pode ler como "quarenta e nove 'a' ao quadrado, menos setenta 'a', mais vinte e cinco". Por ser um polinômio com três termos, chamamos de trinômio. Os primeiro e último termos são quadrados perfeitos.

  2. 2

    Encontre as raízes quadradas do primeiro e do último termo, que são respectivamente "7a" e "5".

  3. 3

    Escreva os termos em notação de parênteses, usando sinais negativos em ambos: (7a - 5)(7a+5). Lê-se "a quantidade de sete 'a' menos cinco, vezes sete 'a' menos cinco".

  4. 4

    Faça a distributiva para checar: 7a * 7a = 49a²; 7a * (-5) = -35a; (-5) * 7a = -35a; (-5) * (-5) = 25;

  5. 5

    Combine os termos semelhantes, -35a - 35a = -70a, que deixam o polinômio original.

    Fatorar por tentativa e erro

  1. 1

    Examine a expressão: y² - 16x + 28. Lê-se "y ao quadrado menos dezesseis y mais vinte e oito".

  2. 2

    Escreva os fatores de 28: 1 * 28 2 * 14 4 * 7. Como o 28 possui muitos fatores, você terá que testá-los para ver se o termo do meio é igual à soma dos produtos. Uma maneira fácil de fazer é olhar para os próprios fatores. 4 + 7 é igual à 16? Não, mas 2 e 16 é igual.

  3. 3

    Escreva a raiz quadrada de y², que é y. Coloque-os em uma notação com parênteses: (y - 14)(y - 2). Lê-se "a quantidade de 'y' menos quatorze, vezes a quantidade de y menos dois".

  4. 4

    Tire a prova real usando a propriedade distributiva: y * y = y²; y * (-2) = -2y; (-14) * y = -14y; (-14) * (-2) = 28;

  5. 5

    Combine termos semelhantes, -14y - 2y = -16y, que deixam o polinômio original.

Dicas & Advertências

  • Sempre olhe o MDC antes, e lembre-se levá-lo ao longo do processo de fatoração.

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