Métodos para provar a teoria de conjuntos

Escrito por saifuddin abdullah | Traduzido por fabiana silva
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Métodos para provar a teoria de conjuntos
A teoria dos conjuntos é o ramo da matemática que estuda os conjuntos (Hemera Technologies/AbleStock.com/Getty Images)

A teoria dos conjuntos é uma divisão importante da matemática que lida com o cálculo de conjuntos matemáticos, ou simplesmente uma coleção de objetos e entidades bem definidos. Esse ramo da matemática está intimamente relacionado com os estudos abstratos e aplicados e geralmente é usado para a resolução de problemas associados à lógica prática e ao raciocínio matemático. Na terminologia da teoria dos conjuntos, a resolução de problemas refere-se à atividade de provar questões lógicas, que são hipóteses, suposições e teoremas usando diferentes métodos generalizados. Embora sejam muito usados na teoria dos conjuntos, esses métodos não são restritos a essa área. Eles são usados em outros ramos da matemática como a geometria, a matemática discreta e a álgebra.

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Indução matemática

Nesse tipo de prova matemática, uma argumentação é feita estudando um único elemento de um conjunto e seus resultados são "induzidos", ou persuadidos, sobre os outros elementos do mesmo conjunto. Mais precisamente, esse método de prova obtém os resultados gerais para um número específico de elementos de um conjunto maior e, sobre esses resultados, faz uma dedução de que todos os elementos de um conjunto em particular produzirão resultados semelhantes. Por exemplo, as propriedades de todos os números pares de um conjunto podem ser generalizadas por meio de indução, simplesmente estudando um único número e induzindo seus resultados sobre os outros.

Contradição matemática

Esse tipo de prova é a base da teoria dos conjuntos, que emprega fazer uma suposição e provar que seus resultados estão errados a fim de negar a própria suposição. Na terminologia mais geral, apresenta-se uma ideia de que, se uma hipótese "A" resulta em "B" e "B" está errado, então "A" também está errado. A prova de contradição normalmente está acompanhada de muitas especificações e hipóteses lógicas através das quais um resultado é considerado o reflexo de seu possível problema.

Contraposição

A prova por contraposição abrange uma classe complexa de testes que existem na teoria de conjuntos. Aqui, prova-se que uma hipótese ou proposição está certa ou errada analisando alternativamente seu contrapositivo (ou inverso). Mais especificamente, ela pode ser imaginada como uma condição na qual a relação do conjunto "A" e "B" pode ser testada, provando a relação entre a "A inverso" e "B inverso". Em outras palavras, é o método que verifica a proposição ao provar seu inverso ou contrapositivo em um cenário similar.

Prova formal

Esse também é um dos tipos mais comuns de prova matemática estabelecidos na teoria dos conjuntos e verifica as suposições feitas para um conjunto particular através da lógica direta ou simples. Seria mais como realizar uma derivação teórica de um problema, que verifica suas etapas consecutivas juntamente com os resultados, simplesmente referindo-se a outros teoremas, conjecturas - ou estimativas - e provas estabelecidos.

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