Simplificação de funções booleanas

Escrito por carla boulianne | Traduzido por lean pereira
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Simplificação de funções booleanas
Simplificação de funções booleanas reduz as conexões de circuitos

A álgebra booleana consiste de regras e operações matemáticas em sistemas binários, como os usados em computadores e outros circuitos elétricos, nos quais tanto entradas quanto saídas são representadas pelo grupo {0, 1}. Funções booleanas são feitas de tabelas de expressões booleanas pela expansão do termo mínimo (onde um termo mínimo tem valor igual a 1 apenas quando os valores de todas as variáveis são iguais a 1) usando os operadores E, OU e NÃO. Estas formas expandidas, frequentemente, não representam a forma mais simples da expressão booleana, e requerem mais portas do que seria prático a partir de uma perspectiva da engenharia. Use as propriedades de identidade booleana quando simplificar funções deste tipo.

Nível de dificuldade:
Moderadamente desafiante

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O que você precisa?

  • Conhecimento dos operadores básicos da álgebra booleana

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Instruções

    Simplificação das funções booleanas usando identidades booleanas

  1. 1

    Use as leis de identidade quando simplificar funções booleanas. Adote "+" como o operador OU, "*" como o operador E e "¬" como o operador NOT.

    x + 0 = x x * 1 = x

  2. 2

    Empregue leis de complementaridade para simplificar funções booleanas.

    x + ¬x = 1 x * ¬x = 0

  3. 3

    Considere leis de dominância quando simplificar funções booleanas.

    x + 1 = 1 x * 0 = 0

  4. 4

    Faça uso da lei da involução para simplificar funções booleanas com negação dupla.

    ¬(¬x) = x

  5. 5

    Exercite as leis idempotentes para ajudar na simplificação de funções booleanas.

    x + x = x x * x = x

  6. 6

    Aplique leis comutativas na simplificação de funções booleanas.

    x + y = y + x xy = yx

  7. 7

    Use leis associativas para simplificar ainda mais as funções booleanas.

    x + (y + z) = (x + y) + z x(yz) = (xy)z

  8. 8

    Explore as leis de De Morgan na simplificação de funções booleanas.

    ¬(xy) = ¬x + ¬y ¬(x + y) = ¬x¬y

  9. 9

    Utilize leis de redundância para simplificar funções booleanas.

    x + ¬xy = x + y x(¬x + y) = xy

  10. 10

    Lembre-se das leis de consenso quando simplificar funções booleanas.

    xy + ¬xz + yz = xy + ¬xz (x + y)(¬x + z)(y + z) = (x + y)(¬x + z)

    Exemplos do uso de identidades na simplificação de funções booleanas

  1. 1

    Usando leis distributivas, de identidade e de complementaridade, a função booleana:

    f (x,y)= xy + x¬y

    é simplificada para f (x,y)= x. [ f (x,y)= xy + x¬y= x * (y + ¬y) = x * 1 = x ]. A função original contém dois operadores E, um OU e um NÃO. A função booleana simplificada não requer portas de circuito.

  2. 2

    A função booleana mais complexa:

    f (x,y,z) = ¬x¬y¬z + ¬x¬yz + ¬xy¬z + ¬xyz + xy¬z + xyz

    é simplificada para f (x,y,z) = ¬x + y usando leis distributivas, de complementaridade, de identidade e de redundância. Isso reduz o número de portas requeridas para o circuito de 26 a apenas duas (um OU e um NÃO).

  3. 3

    Considere a eliminação do operador E ou OU aplicando identidades booleanas como um passo final na simplificação dessas funções. Consiga maior simplificação simbólica usando o NÃOE "|", uma combinação dos operadores NÃO e E {¬ }, e o NOU "?", a expressão que define simultaneamente os operadores NÃO e OU {¬ +}. A simplificação de funções booleanas pela eliminação do operador NÃO é impossível; o grupo de operação {+} não está funcionalmente completo, já que f (x) = ¬x não pode ser expressado em termos de operadores de produto e soma.

Dicas & Advertências

  • Lembre-se de seguir regras de precedência para operadores booleanos quando simplificar e resolver funções deste tipo. Complete os complementos (NÃO), produtos (E) e suas somas (OU).
  • Simplificar funções booleanas usando identidades booleanas não garante soluções ótimas da forma mais simples. A ordem de aplicação das leis pode levar a soluções menos eficazes; não há regras exatas para guiá-lo na simplificação com o uso de identidades booleanas que asseguram a mais simples forma de função. O método consegue reduzir significativamente a complexidade das expressões, mas o uso de mapas de Karnaugh e sistemas lógicos pode ainda conseguir resultados superiores na simplificação de funções booleanas.

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